Démonstration

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous, 

Je cherche à démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 4,    .

Auriez-vous une petite idée d'une manière de procéder ?

Merci  

[Black Jack]

Salut,

 

si n 4, n/(2^n) > 0 comme quotient de 2 grandeurs strictement positives. 
***
f(x) = x² - 2^x
f'(x) = 2x - 2^x * ln(2)
f''(x) = 2 - 2^x * ln²(x)

f''(x) < 0 pour x 4 --> f'(x) est décroissante
f'(4) = 8 - 2^4*ln(2) < 0 
Et donc f'(x) < 0 pour tout x 4 --> f est décroissante.
f(4) = 4² - 2^4 = 0
Et donc f(x) 0 pour tout x 4
x² - 2^x 0 pour tout x 4
x² 2^x pour tout x 4

Et donc n² 2^n  pour tout n 4
n * n 2^n 
n/2^n 1/n pour tout n 4

Il y a donc une erreur d'énoncé, l'inégalité de droite de l'énoncé doit être large.

 

 

[Barbidoux]

autre manière de procéder :
On démontre par récurrence la propriété 2*n+1<2^n pour tout n entier >4
On démontre ensuite par récurrence la propriété n^2≤2^n pour tout n entier >4

[C8H10N4O2]

Merci beaucoup à tous les deux !!