Développement limité

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous !

Je souhaiterais exprimer le DL d'ordre 1 au voisinage de zéro de f : x--> 1/sin(x) non pas par la méthode qui consiste à diviser 1 par  ,

mais en passant par le DL₁ au voisinage de 0 de g définie par g(x)= x.f(x), pour ensuite diviser ce DL par x.

Pour le premier terme, pas de problème,    , donc a₀ = 1

Je trouve pour g⁽¹⁾(x) l'expression           dont la limite en 0 vaut 0 donc j'en conclus que a₁=0

 

Je trouve ensuite g⁽²⁾(x) =      , qui équivaut au voisinage de 0 à      , dont la limite en 0 vaut -2.

J'en conclus  que a₂= (-2)/2! = -1 

Et donc je trouve pour g le DL :   et dès lors pour f : 

Mais cela n'est pas correct car le résultat que l'on trouve par la méthode de la division selon les puissances croissantes donne le DL :  

 

Je dois donc faire une erreur mais je ne sais pas où... Quelqu'un aurait-il une petite idée ?

 

[Black Jack]

Salut,

 

Je n'ai pas tout lu ...

mais il y a déjà une erreur dans l'approximation près de 0 de g'(x)

g(x) = x/sin(x)
g'(x) = (sin(x)-x.cos(x))/sin²(x) [tex]\simec x/3[/tex] (près de 0), en effet : 

g'(x) = (sin(x)-x.cos(x))/sin²(x)

(sin(x)-x.cos(x)) [tex]\simeq x^2[/tex] (x - x³/3! + x^5/5! - x(1 - x²/2! + x^4/4!)) = (- x³/3! + x^5/5! + x³/2! - x^5/4!) = - x³(1/3! - 1/2!) + x^5(1/5! - 1/4!)
(sin(x)-x.cos(x)) [tex]\simeq x^2[/tex] -(5/12).x³ + (1/120-1/24).x^5 = (1/3).x³ - (1/30).x^5 + ...
(sin(x)-x.cos(x)) [tex]\simeq x^3/3[/tex] (près de 0)

sin²(x) [tex]\simeq x^2[/tex] (x - x³/6)² = x² + x^6/36 - x^4/3 + ... [tex]\simeq x^2[/tex]  (près de 0)

(sin(x)-x.cos(x))/sin²(x) [tex]\simeq x^2[/tex]  (1/3).x³/x² = x/3 (et pas x/2 comme tu l'as écrit)

Pour vérifier, calculer par exemple pour x = 0,001

g'(0,01) = (sin(0,01)- 0,01.cos(0,01))/sin²(0,01) = 0,0033334...

... qui est bien quasi x/3 = 0,01/3 = 0,0033333... et pas x/2 = 0,005000... comme tu l'as écrit
*********
Je présume que tu as fait le même type d'erreur par la suite ... je n'ai pas vérifié

Zut le latex a foiré, ... c'est quand même lisible.

 

 

[julesx]

Juste une petit commentaire pour le calcul de g⁽¹⁾. Le développement de sin(x)-x*cos(x) au premier ordre est nul. Comme il y a un terme au dénominateur, il convient de regarder ce que donne ce développement pour un ordre supérieur, même si ici, cela n'a d'autre intérêt que de présenter une suite de calculs et un résultat intermédiaire justes.

Pour g⁽²⁾, comme l'a dit Black Jack, c'est probablement un problème similaire, mais ce qu'on peut surtout te reprocher, c'est de ne pas avoir cherché à simplifier l'expression avant de chercher sa limite.

Personnellement, j'arrive à g⁽²⁾ =[x-sin(2x)+x*cos²(x)]sin³x.

Au voisinage de 0, comme le développement au premier ordre du numérateur est nul, on va au troisième ordre :

sin(2x)=2x-4x³/3

x*cos²(x)=x(1-x²).

Le numérateur vaut donc x-2x+4x³/3+x-x³ soit x³/3.

On obtient donc bien 1/3.

[C8H10N4O2]

Merci beaucoup pour vos réponses,

pour simplifier du fait que je fais visiblement la même erreur pour les deux dérivées successives, restons en à g'(x).(je retenterai ma chance avec la dérivée suivante une fois acquise la bonne méthode ).

On a bien   , mais d'après ce que je comprends (je n'ai pas réussi à restaurer le LateX de Black Jack), mon approche pour

en donner une approximation en 0 est beaucoup trop naïve. J'ai tout simplement considéré    au voisinage de 0 et ensuite simplifié pour

obtenir au final l'expression    dont je sais qu'elle équivaut à   au voisinage de 0.

J'étais donc tout content de parvenir à une valeur de 0 pour le coefficient associé à x⁰ (en accord avec le DL que l'on trouve par division). Mais manifestement ça n'est pas correct.

Pourriez-vous m'expliquer en termes simples en quoi c'est une erreur ? j'avoue ne pas tout comprendre à :  Le développement de sin(x)-x*cos(x) au premier ordre est nul. Comme il y a un terme au dénominateur, il convient de regarder ce que donne ce développement pour un ordre supérieur, même si ici, cela n'a d'autre intérêt que de présenter une suite de calculs et un résultat intermédiaire justes.

Pour info voici l'extrait d'un manuel a l'origine de ma question. Maîtrisant la méthode par division , je souhaitais vérifier qu'on parvenait au même résultat par l'autre méthode (c'est-à-dire calculer le DL de x.f(x) avant de diviser par x pour une expression f(x) dont on ne peut déterminer tel quel le DL parce qu'elle tend vers l'infini en 0).

[julesx]

Un complément d'explication à ma phrase.

Le développement au premier ordre de sin(x)-x*cos(x) vaut x-x*1 donc 0.

Comme le dénominateur est en x², si le développement à l'ordre 2 du numérateur donnait un terme en x², le rapport tendrait vers une constante. Pour être sûr que ce n'est pas le cas, il faut donc développer le numérateur au moins à l'ordre 2.

sin(x)=x-x³/6

x*cos(x)=x*(1-x²/2)

donc sin(x)-x*cos(x)=x-x³/6-x+x³/2=x³/3.

Là, on vérifie bien qu'il n'y a pas de de termes en x², que le rapport vaut (x³/3)/x²=x/3 et que ce rapport tend bien vers 0.

En fait, dès que l'expression devient un peu complexe, pour développer à un ordre n, il faut toujours développer à un ordre au moins égal à n+1 pour être sûr de ne pas laisser un terme en route.

[C8H10N4O2]

Merci beaucoup , je comprends mieux la logique.

Je m'arrêtais trop tôt dans les équivalents que j'employai, de sorte que je ne pouvais pas éliminer la possibilité qu'à un ordre supérieur, numérateur et dénominateur soient des infiniment petits de même ordre et que leur rapport tende donc vers une constante.

Je vais reprendre les calculs pour g"(x) avec les idées plus au clair.

Je comprends aussi que la méthode par division soit plus employée car moins calculatoire...

[julesx]

OK, mais pense à simplifier ton expression auparavant. Il y a au minimum une division par sin(x) au numérateur et au dénominateur.

[C8H10N4O2]

il y a 19 minutes, julesx a dit :

OK, mais pense à simplifier ton expression auparavant. Il y a au minimum une division par sin(x) au numérateur et au dénominateur.

C'est bien noté, je vais suivre pas à pas vos indications et voir si j'y arrive...

[julesx]

Juste pour info. Je sais que le truc standard pour dériver une fraction est(u/v)'=(u'v-uv')/v², mais, souvent , moi, je préfère partir de (u/v)'=u'/v-uv'/v², quitte à réduire ensuite au même dénominateur. La raison en est que cela amène souvent une première simplification lorsque le dénominateur est initialement un carré (a fortiori si c'est une puissance supérieure).

Exemple ici pour [sin(x)-x*cos(x)]/sin²(x) :

Avec ma méthode, il vient

[cos(x)-cos(x)+x*sin(x)]/sin²(x)-[sin(x)-x*cos(x)]*2*cos(x)/sin³(x)=x*sin(x)/sin²(x)-[2*sin(x)*cos(x)-2*x*cos²(x)]/sin³(x)=[x-sin(2*x)+x*cos²(x)]/sin³(x)

Par rapport à l'autre méthode, la simplification par sin(x) se fait donc automatiquement.

Mais de là à dire aux élèves, "surtout oubliez la méthode standard", c'est un pas que je me garderais bien de franchir (et que je me suis bien gardé de faire du temps où j'enseignais, j'en ai peut-être quelquefois signalé la possibilité).

[C8H10N4O2]

Excellente idée que j'ajoute dès à présent à mon arsenal pour les problèmes de dérivation.

Merci !

[julesx]

De rien, bon week-end.