Développements limités

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous !

Dans la définition du DL, une fonction f(x) est, au voisinage d'une valeur a, égale à une expression composée d'un polynôme et d'un reste. 

  (si a₀, a₁, etc existent et non nuls) .

Or tous les termes de la partie polynomiale sont censés être des infiniments petits devant le terme précédent. Ce qui me paraît effectivement correct pour   ,     car    et    .   

La première limite nous dit que   est un infiniment petit au voisinage de a et la seconde que c'est un infiniment petit d'ordre n.

 Or qu'en est-il pour le premier terme a₀ ?  N'a-t-on pas    ? Quand je fais (0,001)⁰, (0,0001)⁰ , etc j'obtiens toujours 1. Mais alors cela signifie que a₀ n'est pas un infiniment petit au voisinage de a .

 

Qu'en pensez-vous ?

[julesx]

Bonjour,

Je ne comprends pas ton problème. Tu dis

"tous les termes de la partie polynomiale sont censés être des infiniment petits devant le terme précédent"

ok, mais a₀ n'a pas de précédent, il n'entre donc pas dans ce cadre et n'a aucune raison d'être un infiniment petit.

N.B. :La limite de a₀*(x-a)⁰ vaut a₀, pas 1. C'est la limite de (x-a)⁰ qui vaut 1, du moins si on postule que 0⁰=1, mais c'est généralement admis (voir éventuellement la littérature à ce propos).

 

 

 

 

 

[C8H10N4O2]

Ah oui effectivement, je me suis un peu emmêlé les pinceaux sur ce coup là.  

Merci !

[julesx]

De rien, bonne continuation.

[C8H10N4O2]

À propos quel est l'intérêt que chaque terme soit infiniment petit devant le précédent ? Pour le reste je comprends, dans la mesure ou on veut que la différence entre la fonction et la partie polynomiale soit un infiniment petit d'ordre arbitraire, mais pourquoi doit-ce aussi être le cas pour chaque monôme ?

[julesx]

Ce n'est pas un problème d'intérêt mais une simple conséquence de l'écriture du développement. Dans ce contexte, x-a est un infiniment petit, donc le rapport de deux termes consécutifs est un infiniment petit puisque le rapport des coefficients multiplicateurs reste fini.