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Probabilités 1S


ml02

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Bonjour à tous, j'ai énormément de mal à faire cet exercice de mon DM au vu des contraintes imposées par celui-ci (voir énoncé).

Je vous joins ci-joint l'énoncé et en PJ mes pistes de recherche.

J'ai réussi la question 1 avec un arbre avec 2^5 branches/issues et j'ai réussi la question 2B.

En somme, je n'ai pas trouvé les questions 2A et 2C, et de ce fait je n'ai pas tenté la question 3.

Un grand merci à chacun de vous qui pourront m'éclairer en me donnant quelques pistes ! :)

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  • E-Bahut

Sans les propriétés de la loi binomiale B(7;0?75), tu ne peux répondre aux questions posées qu'après avoir tracé un arbre de probabilité et tu obtiendras les réponses aux questions posées en additionnant les probabilités des branches de l'événement, et dans certains cas en passant par l'événement contraire comme tu l'as fait.

Ton arbre n'est pas complet, sauf connaissance des règles de combinaisons, il faut le dessiner et compter les branches.

C'est fastidieux, mais c'est l'énoncé qui l'impose.

Au travail.

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  • E-Bahut

On appelle schéma de Bernoulli toute expérience aléatoire consistant à répéter n fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli. Un arbre 2^n rameaux finaux est l’expression de ce schéma.

Je ne vois pas bien comment on peut répondre à la question posée, en absence du tracé d’un arbre de probabilité ou le développement de (a+b)^7 avec a+b=1 ou a est la probabilité d’atteindre la cible (ce qui est équivalent au tracé d'un arbre), puisque l’énoncé proscrit l’usage d’un schéma de Bernoulli.

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[EDIT] Mon professeur a modifié hier soir le sujet : "pour vous permettre de répondre aux questions en vous aidant d'un graphe (un arbre) vous pouvez réduire le nombre de fléchettes à 5. Toutefois, la loi binomiale n'est pas à utiliser"

Ci-dessous mon arbre de probabilités :

IMG_20190429_112531.thumb.jpg.8592146e920e941fec4e146ff4d86d6e.jpg

Que faire avec celui-ci ?

Merci pour vos réponses !

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  • E-Bahut

Il faut évaluer la probabilité de chaque issue et sommer les probabilités des les issues identiques ce qui peut être assez fastidieux.

Utiliser un arbre peut se révéler assez compliqué lorsque le nombre d’essais successifs est important, le plus simple est d’utiliser le développement de (a+b)^n en utilisant le triangle de pascal. Cela  donne un résultat équivalent à celui d’un arbre.

Si l’on pose a= probabilité d’éteindre la cible, b=1-a celle de la rater alors le développement de (a+b)^n donne l’ensemble des probabilités d’atteindre n, n-1, n-2,…….1,0 fois la cible sur n essais

 

ordre 3……….1……….3………….3…………1

ordre 4……….1……….4………….6…………4……….1

ordre 5……….1……….5………....10……..…10……..5………1

ordre 6……….1……….6………….15……..…20……..15……6….1

 

par exemple pour 5 essais 

(a+b)^5=a^5+5*a^4*b+10*a^3*b^2+10*a^2*b^3+5*a*b^4+b^5

la probabilité de toucher 3 fois la cible donc la rater deux fois  au cours de5 essais successifs vaut P(X=3)=10*a^3*b^2=10*0.25^3*0.75^2

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Il y a 2 heures, Barbidoux a dit :

Il faut évaluer la probabilité de chaque issue et sommer les probabilités des les issues identiques ce qui peut être assez fastidieux.

Utiliser un arbre peut se révéler assez compliqué lorsque le nombre d’essais successifs est important, le plus simple est d’utiliser le développement de (a+b)^n en utilisant le triangle de pascal. Cela  donne un résultat équivalent à celui d’un arbre.

Si l’on pose a= probabilité d’éteindre la cible, b=1-a celle de la rater alors le développement de (a+b)^n donne l’ensemble des probabilités d’atteindre n, n-1, n-2,…….1,0 fois la cible sur n essais

 

ordre 3……….1……….3………….3…………1

ordre 4……….1……….4………….6…………4……….1

ordre 5……….1……….5………....10……..…10……..5………1

ordre 6……….1……….6………….15……..…20……..15……6….1

 

par exemple pour 5 essais 

(a+b)^5=a^5+5*a^4*b+10*a^3*b^2+10*a^2*b^3+5*a*b^4+b^5

la probabilité de toucher 3 fois la cible donc la rater deux fois  au cours de5 essais successifs vaut P(X=3)=10*a^3*b^2=10*0.25^3*0.75^2

Le triangle de Pascal, ne relevant pas du programme de 2de, ne peut être utilisé ici malheureusement... :(

Comment faire avec l'arbre seulement, c'est-à dire sans passer par le triangle de Pascal ? : comment évaluer la probabilité de chaque issue et sommer les probabilités des issues identiques ?

Merci !

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  • E-Bahut

De mon temps le triangle de pascal n'était au programme d'aucune classe, on l'enseignait aux élèves des quatrième sans aucune démonstration comme moyen mnémotechnique pour developper (a+ou - b)^n.  Si tu ne veux pas l'utiliser alors il te faut faire avec l'arbre, il faut identifier chacune des issues pour 5 essais cela fait 2^5=32 issues et compter celles qui conduisent à une même probabilité ce qui revient à developper à la main (a+b)^5

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