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Limite de sinus au voisinage de zéro


C8H10N4O2

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Bonjour à tous !

Je souhaiterais connaître votre avis sur la démonstration en pièce jointe. Il s'agit de montrer géométriquement que image.png.28dc4868fff08d3cb5fe8a08d25738ab.png .

Je vous laisse lire la démonstration, il s'agit d'appliquer le théorème des gendarmes en encadrant l'aire du secteur circulaire OIM entre celles des triangles OIM et OIT. Mon problème vient du passage souligné en bleu. Que se passe-t-il si on ne se place plus dans un cercle de rayon égal à 1 ?

Si on choisit image.png.091f9b67dacfc20f5b19b31c4c4964d0.png , on obtient l'encadrement image.png.d01b2028b4befcdd55d86a51b9e7743f.png  , puis en divisant par a.sin(x) et en passant à l'inverse image.png.e9f4189bb99874681fc0244d1bee5b94.png . Or image.png.2c3e6ff994f80b8fff869a5246ec9a3c.png et donc notre encadrement tombe à l'eau :(  

Qu'en pensez-vous ? 

2019-02-20-10-08-48.jpg

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  • E-Bahut

Si le rayon n'est pas égal à 1, IT n'est pas égal à tan(x). En fait, si on laisse en place OI :

Aire(triangleOMI)=1/2*OI*HM HM/OI=sin(x) => Aire(triangleOMI)=1/2*OI²*sin(x)

Aire(secteurOMI)=1/2*OI²*x

Aire(triangleOIT)=1/2*OI*IT IT/OI=tan(x) => Aire(triangleOIT)=1/2*OI²*tan(x)

Donc les OI² s'éliminent dans les inégalités et la démonstration reste valable quel que soit le rayon du cercle.

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Il y a 1 heure, julesx a dit :

Si le rayon n'est pas égal à 1, IT n'est pas égal à tan(x). En fait, si on laisse en place OI :

Aire(triangleOMI)=1/2*OI*HM HM/OI=sin(x) => Aire(triangleOMI)=1/2*OI²*sin(x)

Aire(secteurOMI)=1/2*OI²*x

Aire(triangleOIT)=1/2*OI*IT IT/OI=tan(x) => Aire(triangleOIT)=1/2*OI²*tan(x)

Donc les OI² s'éliminent dans les inégalités et la démonstration reste valable quel que soit le rayon du cercle.

Merci beaucoup ! :) 

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