exercice matrice et probabilité

[poox]

salut à tous, voila j'ai un exercice à faire et je ne suis pas sur de mes premières réponses, donc j'aimerais les vérifier afin de pouvoir bien continuer dans l'exercice. 

le sujet est : on considère un mini-graphe web à 4 pages, sur lequel un surfeur se déplace aléatoirement. 

On note Xn appartenant à {1, 2, 3, 4} 

On note Un = (P(Xn=1),P(Xn=2),P(Xn=3),P(Xn=4)) ( (,) correspond au passage à la ligne ) 

1) vérifier que Un+1= AUn avec A = ( 0 1/3 1/2 0), (1/2 0 1/2 0), (1/2 1/3 0 0), (0 1/3 0 1), en déduire par récurrence que Un=A^n*Uo

j'ai fais un arbre de probabilité, mais je vois pas comment rédiger. 

Pour la récurrence : 

Pn : "Un=A^n*Uo"

* pour n=0 : Uo = ( 1/4 , 1/4 ,1/4, 1/4) et Uo*A^0= Uo

** Uk+1 = A*A^k*Uo=A^k+1*Uo

2) calculer A^100 et émettre un conjecture quant à la position du surfeur au long terme.

A^100 = (0 0 0 0), (0 0 0 0), (0 0 0 0), (1 1 1 1)

on conjecture que le surfeur se trouvera sur le site numéro 4

3) Si la suite (Un) a une limite L, expliquer pourquoi L doit vérifier l'égalité L=AL

je ne sais pas y répondre, pouvez vous m'aider ?

4) résoudre le système issue de cette équation en observant de plus la somme des coefficients de L vérifie une équation simple. le résultat trouvé conforte t-il la conjecture émise ?

je ne vois pas comment trouver le système

partie 2

voir le shéma 1 joint.

1) un employer est sur la page 4 

a) sur qu'elle page peut-il se rendre

en un clic ? 1,2     en deux clic ? 2

b) peut-il repasser pas la page 4 ? Oui en faisant 4 2 4

2) on suppose qu'un employer se rend sur des pages au hasard de façon équiprobable et continue sa navigation 

a) à l'aide du schéma, dans qu'elle ordre peut-on ranger les pages, par ordre décroissant de fréquantation ? 

2/4/1/3

b) 2e capture 

3) on note tij la probabilité, étant à la page i d'aller à la page j(1<=j<=4). Ecrire la matrice T dont les éléments sont les nombres tij, où i désigne l'indice de ligne et j celui de la colonne. 

je bloque sur cette question

Voilà ceci est une partie de mon sujet, j'espère que mon travail est conforme à vos attente, dites le moi s'il ne l'es pas. Merci 

 

 

 

 

 

[poox]

la question 2)b) est : placé les probabilités sur le schéma 

[pzorba75]

Pour la question 1, il faut rédiger en posant :

a) formuler l'hypothèse de récurrence U_n=AⁿU₀,

b) vérifier l'initialisation au rang 0 U₀=A⁰U₀,

c) traiter l'hérédité, c'est-à-dire l'hypothèse a) admise au rang k, démontrer que U_k+1=A^k+1U₀,

d) conclure U_n=AⁿU₀.

 

3) Si L est un état stable, alors L_n+1=L_n et L_n+1=AL_n, que l'on note L=AL, à partir d'un rang n₀ tous les états sont identiques et  L_n(n>=n0)=L

 

À toi de travailler et de rédiger correctement, en faisant un effort sur l'orthographe qui est catastrophique.

[julesx]

Pour la partie 1.

Tu avais le schéma du mini-graphe web à 4 pages ?

Sinon, pour la question 4), en admettant que ta matrice A soit juste :

En posant x, y , z et t les éléments de la matrice colonne L, l'équation L=A*L se traduit par le système

x=y/3+z/2

y=x/2+z/2

z=x/2+y/3

t=y/3+t

Comme les 3 premières équations ne font pas intervenir t et que t s'élimine dans la dernière, il faut rajouter une équation et en ignorer une des 4 premières.

L'équation supplémentaire traduit le fait que la somme des probabilités est égale à 1, soit x+y+z+t=1. Il ne reste plus qu'à combiner cela avec 3 équations au choix parmi les 4 premières, dont évidemment t=y/3+t qui donne immédiatement y=0.

Je te laisse continuer ?

 

[poox]

Il y a 3 heures, julesx a dit :

Pour la partie 1.

Tu avais le schéma du mini-graphe web à 4 pages ?

Sinon, pour la question 4), en admettant que ta matrice A soit juste :

En posant x, y , z et t les éléments de la matrice colonne L, l'équation L=A*L se traduit par le système

x=y/3+z/2

y=x/2+z/2

z=x/2+y/3

t=y/3+t

Comme les 3 premières équations ne font pas intervenir t et que t s'élimine dans la dernière, il faut rajouter une équation et en ignorer une des 4 premières.

L'équation supplémentaire traduit le fait que la somme des probabilités est égale à 1, soit x+y+z+t=1. Il ne reste plus qu'à combiner cela avec 3 équations au choix parmi les 4 premières, dont évidemment t=y/3+t qui donne immédiatement y=0.

Je te laisse continuer ?

 

oui j'avais le graphe.

merci je vais pouvoir continuer dans la suite du sujet