Suites TS

[mathou221059]

Bonjour, j’ai un dm à rendre et j’ai un peu de difficultés sur certaines questions, pouvez vous m’aider s’il vous plaît ?

Énoncé :

On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u₀ = 1 et u_n+1 = 2u_n + 1 - n.

On considère la suite (v_n) définie pour tout entier naturel n par v_n = u_n - n.

1) Calculer les six premiers termes des suites (u_n) et (v_n).

2) On réalise la feuille de calculs suivantes.

a) Quelles formules doit-on saisir en B3 et C2 pour obtenir les premières valeurs de u_n et de v_n après étirement vers le bas ?

b) Réaliser cette feuille de calcul puis compléter le tableau de l’énoncé.

3) a) Conjecturer alors l’expressionde v_n en fonction de n, puis celle de u_n.

b) Démontrer l’expression de u_n en fonction de n a l’aide d’un raisonnement par récurrence.

4) On pose S₂₀ = u₀ + u₁ + ... + u₂₀

Calculer S₂₀ sans chercher à calculer chacun de ses termes ni à utiliser la feuille de calculs.

 

Ce que j’ai fais :

1) u₀ = 1     u₁ = 3      u₂ = 6      u₃ = 11     u₄ = 20      u₅ = 37      u₆ = 70

v₀ = 1      v₁ = 2       v₂ = 4       v₃ = 8       v₄ = 16      v₅ = 32

2)a) B3 : 2 * B2 + 1 - A2              C2 : B2 - A2

2)b) voir photo jointe.

 

Pour les autres questions, je n’y arrive pas...

[julesx]

3)a) Dans les termes successifs de la suite v_n, tu reconnais les puissance de 2 (1=2⁰ 2=2¹ 4=2² etc...) ce qui te permets de conjecturer que v_n=2ⁿ.

Comme v_n=u_n-n, tu en déduis que u_n=v_n+n soit u_n=2ⁿ+n.

b) Initialisation

n=0 => u₀=2⁰+0=1

La proposition est vérifiée pour n=0

Hérédité

Tu supposes que la proposition est vérifiée au rang n

u_n=2ⁿ+n

et tu montres qu'elle est vraie au rang n+1 :

u_n+1=2*u_n+1-n=2*(2ⁿ+n)+1-n=... Je te laisse terminer.

4) Tu additionnes séparément les deux termes sachant que les termes en 2ⁿ forment une suite géométrique et que les termes en n forment une suite arithmétique (pour ces derniers, tu peux aussi utiliser la relation donnant la somme d'entiers consécutifs).

N.B. : Il me semble que cette exercice a déjà été traité sur ce forum mais je n'ai pas réussi à le retrouver.

 

[pzorba75]

Pas étonnant de ne rien retrouver dans ce forum, depuis que les pièces jointes fleurissent pour les énoncés et pour les réponses. Les élèves ne font d'ailleurs plus de recherche, ils postent une photo avec leur téléphone et attendent après barbidoux, julesx, etc sans faire le moindre effort. Tant que l'administrateur tolère ce fonctionnement, il n'y a rien à espérer et il faut faire et refaire n fois les mêmes exercices.