Comparaison de suites

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous! 

Voici ma question : il s'agit de comparer les suites (U_n) et (V_n) telles que U_n= 1+nt et V_n=(1+t)ⁿ . On veut en définitive montrer que les premiers termes de ces deux suites sont presque égaux pour t proche de zéro. 

Dans un premier temps, en considérant que la variable est t et n un entier naturel quelconque, on montre que les fonctions f (t) = 1+nt et g (t) =  (1+t)ⁿ ont même approximation affine au voisinage de zéro : g (h)  1+nh = f (h).

Jusque là, je comprends, on a montré que les suites sont proches pour t proche de zéro. Mais on doit aussi montrer que c'est vrai pour les premiers termes seulement, soit pour n petit (ce qui se voit bien graphiquement en prenant t=0,1 par exemple. Les courbes divergent franchement à partir de n=7).

Et là je ne sais pas comment procéder, donc si vous avez une idée, n'hésitez pas à la partager !

Merci d'avance

Voici le graphique des deux suites pour t=0,1

[Barbidoux]

J'aurais utilisé un développement en série de Taylor  de Vn qui montre que Un est une approximation du premier ordre de Vn et que n*(n-1)t^2/2, le second terme, n'est négligeable que pour n petit.

[C8H10N4O2]

Merci Barbidoux !