Exercice fonctions 1ereS

[eleve 342]

Bonjour à tous, 

Je ne sais pas comment m'y prendre pour justifier cet exercice: quelqu'un pourrait-il m'apporter son aide s'il vous plaît?

Soit f la fonction: f(x)=1/(x-1) 

1)Justifier que 0 est un minorant de f sur l'intervalle ]1; +infini[  ;

2) Est-ce le minimum de f sur ]1;+infini[ ? 

Je sais déjà qu'une fonction f est minorée par m sur un intervalle I si et seulement si pour tout réel x de I on a f(x)>=m, mais je ne sais pas comment l'appliquer ? 

Merci d'avance 

[Barbidoux]

il y a 2 minutes, eleve 342 a dit :

Bonjour à tous, 

Je ne sais pas comment m'y prendre pour justifier cet exercice: quelqu'un pourrait-il m'apporter son aide s'il vous plaît?

Soit f la fonction: x=1/(x-1) ce ne serait-ce pas plutôt x-1/(x-1) ?

1)Justifier que 0 est un minorant de f sur l'intervalle ]1; +infini[  ;

2) Est-ce le minimum de f sur ]1;+infini[ ? 

Je sais déjà qu'une fonction f est minorée par m sur un intervalle I si et seulement si pour tout réel x de I on a f(x)>=m, mais je ne sais pas comment l'appliquer ? 

Merci d'avance 

 

[eleve 342]

 il s'agit bien de f(x)=1/(x-1) 

[Barbidoux]

f(x)=1/(x-1) ==> f'(x)=-1(x-1)^2<0 fonction uniformément décroissante sur l'intervalle ]1,∞[. Si tu n'a pas vu les dérivée tu peux utiliser les propriétés de la fonction de référence 1/x, la fonction étudiée étant la translatée de vecteur {1,0} de cette fonction.

Lorsque x->∞ alors f(x)-> 0. Conclusion 0 est un minorant de f(x) sur ]1,∞[. Ce n'est pas un minimum car f(x) est strictement décroissante sur son intervalle de définition.

[eleve 342]

Merci mais je ne vois juste pas pourquoi on passe de f(x) à f'(x) ?  

[Barbidoux]

f'(x) est la dérivée de f(x) mais si tu n'a pas vu les dérivée tu peux utiliser les propriétés de la fonction de référence 1/x, la fonction étudiée étant la translatée de vecteur {1,0} de cette fonction. La fonction 1/x est uniformément décroissante sur son intervalle de définition qui est ]-∞,0[ U]0,∞[ et par analogie on peut dire que la fonction étudiée f(x)=1/(x-1) étant la translatée de vecteur {1,0} de la fonction de référence 1/x elle est de même uniformément décroissante sur son intervalle de définition qui est ]-∞,1[ U]1,∞[. On peut aussi si l'on veut démonter que f(x)=1/(x-1) est une fonction décroissante sur son intervalle de définition qui est R\{1}.

[eleve 342]

Merci beaucoup pour ces explications! Je n'ai en effet pas encore étudié les dérivés,  donc pour l'instant, de manière plus générale, si je veux trouver ou prouver un minorant ou majorant d'une fonction,  je dois d'abord déterminer son sens de variation sur un intervalle choisi, en procédant soit par analogie avec une fonction connue , soit en utilisant par exemple sa forme canonique ? 

 

[Barbidoux]

si tu veux trouver ou prouver un minorant ou majorant d'une fonction il te faut connaitre sa variation dans son intervalle de définition. Sans dérivation de la fonction il te faut faire appel (quand cela est possible) aux variations des fonctions de référence ou a son graphe.

[eleve 342]

D'accord, Merci ! 

[PAVE]

Bonjour,

Très humblement...

Si x>1 (car sur l'intervalle ]1; +infini[  ;

x-1> 1-1

x-1>0

1/(x-1) >0 (L'inverse d'un nombre positif est positif.)

Qu'en pensez vous ?

[Barbidoux]

Salut Pave.

Bien vu  c'est plus simple, et à partir de là  on peut s'en sortir (question 2) en disant que l'intervalle étant ouvert à droite l'inégalité f(x)>0 est stricte ce qui fait que la valeur 0 ne peut être le minimum de f(x), mais est bien cela qui est attendu ? Bien difficile à dire.... De toute manière il y a bien souvent plusieurs chemin permettant d'arriver à la solution d'un exercice.