Fonctions

[AmandineB]

Bonjour, j'ai beaucoup de mal avec cet exercice pour demain, merci d'avance

 

1)Soit g la fonction définie sur R par g(x) = x^3-216.

En utilisant le sens de variation de la fonction cube sur R, déterminer le signe de la fonction g sur R. (216 = 6^3).

2)Un laboratoire pharmaceutique fabrique un produit solide conditionné sous la forme d'un petit parallélépipède rectangle dont le volume doit être 576 mm^3.

On note y la hauteur, ses autres dimensions sont x (x étant le petit coté) et 2x (le grand coté) (en mm)

a) Calculer y en fonction de x

b) Démontrer que la surface totale en mm^3 de ce solide est donnée par la fonction S définie pour x supérieur à 0 par : s(x) = 4(x²+432/x)

c) Les conditions d'emballage imposent que x soit compris entre 3 et 12 mm . Déterminer la surface minimale du parallélépipède ainsi que les dimensions rendant cette surface minimale.

[julesx]

1) La fonction x³ est uniformément croissante entre -∞ et +∞ sur R, donc x³-216 l'est également. Cette fonction s'annule donc une seule fois, pourx³=216=6³, soit pour x=6.

x<6 => x³-216<0

x>6 => x³-216>0

2)a) Le volume est égal à x*2x*y. Comme ce volume doit être égal à 576, il vient y=...

b) La surface totale s(x) est égale à

2 fois la surface de base x*2x

2 fois la surface latérale x*y

2 fois la surface latérale 2x*y

Je te laisse faire la somme et remplacer y par son expression trouvée au a).

c) Tu dérives s(x) et tu utilises le résultat trouvé au 1).

[pzorba75]

1) la fonction cube x:->x^3 est monotone croissante sur R, de même g:x->x^3-216

2) V=y*x*2x=2x^2y or V=576 donc y=576/(2x^2)=288/x^2

3) S totale = 2x^2+6x*y+2x^2 (fond, parois verticales de hauteur y, couvercle supérieur)

Je te laisse effectuer les calculs pour vérifier.

4) Tu dérives S(x), etudies le signe pour conclure.