Amusement

[Black Jack]

Salut

Juste pour passer le temps, je propose ce petit problème pour les amateurs éventuels.

Avec x et y réels, quels sont les couples (x , y) solutions de l'équation x^y + y^x  = 1

 

 

[volcano47]

j'ai essayé d'écrire que la différentielle totale de x^y+y^x =0 en considérant y comme fonction de x (à trouver) mais ça ne m' a mené à rien.

J'ai essayé d'écrire f(x) =x^y et Ln f = y Ln x , de même g(x)= y^x donc Ln g =x Ln y mais ça conduit à des choses compliquées qui ne m'amusent plus au bout d'un moment ; donc, je sèche !

[julesx]

Bonjour volcano47,

Pour info, ce problème a été abordé ici

http://www.e-bahut.com/topic/49989-equation-simple/?tab=comments#comment-189822

mais au moins une question reste en suspens.

Si le cœur vous en dit...

[Black Jack]

Salut,

 

Merci de votre intérêt dans mon petit problème.

Outre les solutions données par julesx dans le lien qu'il a pointé, soit (0 , n'importe quoi sauf 0) ou (n'importe quoi sauf 0 , 0)

Exemple pour ces solutions :  : 17,2^0 + 0^17,2 = 1

... Il reste d'autres solutions.

Je donne un indice de plus que sur le lien ... en fournissant un couple solution qui devrait aider à trouver la famille de solutions manquantes.

x = 1/3 et y = -0,54299...

En effet : (1/3)^(-0,54299...) + (-0,54299...)^(1/3) = 1,8158... - 0,8158... = 1

Voila, j'ai entrouvert la porte.

 

[julesx]

Après essais avec Geogebra :

* Comme déjà signalé, des valeurs entières positives, paires et supérieures ou égales à deux de x ou de y conduisent à des couples de solutions.

* Des valeurs de la forme 1/n avec n impair, positif et supérieur ou égal à 3 de x ou de y conduisent à des couples de solutions (cf. exemple du post précédent).

Mais je ne prétends pas avoir fait le tour !

Par ailleurs, comment le démontrer ?

 

[Black Jack]

Salut,

Approche pour montrer qu'il y a au moins une solution pour x < 0 à (1/n)^x + x^(1/n) = 1 avec n impair 3

f(x) = (1/n)^x + x^(1/n) - 1   (avec x < 0 et n impair 3)

f'(x) = - ln(n) * (1/n)^x + (1/n) * x ^((1-n)/n)   (avec x < 0 et n impair 3)

lim(x-->0-) f'(x) = - ln(n) + oo > 0

Et donc f(x) est croissante pour x < 0 mais proche de  0

f(0) = 1 + 0 - 1 = 0 

Et donc f(0-) < 0

f(-1) = n - 1 - 1 > 0 puisque n 3

Comme f est continue sur [-1 ; 0[ et que f(-1) > 0 et que f(0+) < 0, il y a obligatoirement une valeur de x sur ]-1 ; 0[ telle que f(x) = 0

Donc, l'équation (1/n)^x + x^(1/n) = 1 a au moins une solution sur ]-1 ; 0[ (avec n impair  3)