approximation de racine de 2 (Newton)

[est01]

Bonjour,

Pourriez-vous m'aider, s'il vous plait, pour cet exercice (niveau maths sup) qui aborde la méthode de Newton?

Tout d'abord je tiens à m'excuser pour la syntaxe mathématique, je ne sais pas mettre les vrais symboles...

 

soit (Vn) définie par: Vn+1=Vn/2+1/Vn et V0=2

J'ai  montré que (Vn) converge vers sqrt2 et que /Vn+1- sqrt2/<=(Vn-sqrt2)^2/2*sqrt2

Il faut établir que /Vn+1- sqrt2/<=2*sqrt2[(2-sqrt2)/2*sqrt2]^(2^n). Je ne vois pas le lien mis à part que Vn a été remplacé par V0=2

Sans utiliser de calculatrice, montrer que 0<=(2-sqrt2)/2*sqrt2<=1/4, en déduire que /Vn+1- sqrt2/<=3(1/4)^(2^n). Je ne sais pas d'où partir.

 

Je vous remercie par avance et vous souhaite un bon week-end

 

 

 

[pzorba75]

Impossible de t'aider sans avoir l'énoncé complet. C'est un exercice assez courant que tu peux retrouver en "fouinant" un peu avec google.

[Invité]

Bonsoir,

Sans doute un peu tard, mais tant pis.

J'imagine que vous avez montré sans difficulté et sans calculatrice (j'adore les zeugmes...) que 0<=(2-sqrt2)/2*sqrt2<=1/4.

Partant de |V_n+1- sqrt2|<=(V_n-sqrt2)^2/(2*sqrt2) on pose U_n = |V_n- sqrt2|/(2sqrt(2)), l'inégalité devient U_n+1( U_n)² qu'on itère jusqu'à U₁

U_n+1( U_n)² (U_n-1)^{2^2} <=(U_n-2)^{2^3} <=...<= (U_n-p)^{2^(p+1)} <=...<=(U₁)^{2^n}  (si on veut être mathématiquement correct, faire une récurrence)

Après quoi en ne conservant que le premier terme et le dernier de cette cascade d'inégalités, on revient en V_n+1 , on explicite V₁ et c'est -presque- terminé.

[julesx]

Bonjour JLN,

Comme est01 semble avoir abandonné ce sujet, je me permets d'intervenir parce qu'il y a quelque chose qui me chiffonne dans l'énoncé.

Si on admet que

|V_n+1-√2|≤(V_n-√2)²/(2√2)

alors cette relation doit être vérifiée pour n=0, soit

|V₁-√2|≤(V₀-√2)²/(2√2)=(2-√2)²/(2√2)

Par ailleurs, on demande d'établir que

|V_n+1-√2|≤2√2[(2-√2)/(2√2)]^{2^n}

et c'est là que ça coince pour moi, car pour n=0, on a

|V₁-√2|≤2√2[(2-√2)/(2√2)]^{2^0}=2-√2.

Est-ce que je fais une erreur de raisonnement ?

 

 

[Invité]

Bonjour julesx,

Oui, est01 ne se manifeste plus. Comme vous l'aviez souligné il y a quelque temps, les étudiants ont des circonstances atténuantes. Mais c'est quand même frustrant, d'autant que ce comportement est de plus en plus fréquent et pas seulement venant d'élèves de math-sup....

En ce qui concerne l'exercice je pense qu'il y a une coquille au départ. La relation de récurrence doit plutôt être V_n+1=(V_n+1/V_n)/2 avec V₀=2 et non ce que est01 a écrit.

Mais effectivement je n'avais pas vérifié la cohérence de l'ensemble, m'étant contenté d'écrire quelques relations assez évidentes.

[julesx]

Rebonjour,

Non, la relation de récurrence est bien celle donnée par est01, avec la votre, la limite serait 1, pas √2. Par contre, pour la suite, mystère...

 

[Invité]

Oui, vous avez raison. On résout L²=2 qu'on transforme en  L=L/2+1/L

D'un autre côté 3/2- √2  est bien inférieur à 2- √2