Fonction exponentielle , inéquation , suite

[Nathalie Hoang]

1. Bonjour,
   Pourriez-vous s’il vous plaît m’aider ?
   On m’a donné le problème suivant :
   Un véhicule de type A , d’une valeur de 22867euros, se déprécie à raison de 2.4 pourcents par mois. Un véhicule de type B, d’une valeur de 18294 euros, se déprécie à raison de 1.8 pourcents par mois.
   On cherche donc à savoir au bout de combien de mois la valeur du véhicule de type A deviendra inférieure à la moitié de son prix initial. J’ai alors décidé de faire une inéquation en utilisant la fonction exponentielle qui me donne 22311.36^n<11433.5 , donc n>0.9
   Puis on nous a également demandé à partir de quand le véhicule de type B deviendra plus cher que celui de type A.
   J’ai également utilisé la fonction exponentielle qui m’a donné l’inéquation suit: 17964.708^n>22311.36^n , ce qui faisait à la fin n<1.01
   Je ne pense pas que mes résultats sont corrects , pourriez- vous s'il vous plaît m'aider ?

   Réponse
2. 

[pzorba75]

Si tu es en première et que tu n'as pas étudié le logarithme, cet exercice ne peut être traité qu'avec un tableur informatique, Libre office Calc par exemple ou une calculatrice scientique permettant l'affichage des termes d'une suite.

Pour la question 1, la réponse est n=29 c'est-à-dire qu'il faut "déprécier" le véhicule A pendant 29 mois consécutifs pour que sa valeur diminue de moitié.

Je te renvoie à ton tableur préféré pour vérifier.

Quand tu auras fait cette question, la deuxième se traite de la même façon en comparant deux suites pour arrêter les calculs et obtenir le nombre de mois cherché.

SI ce la ne te convient pas, mets ton profil à jour pour avoir de l'aide avec le logarithme, vu en terminale S ou ES.

Au travail.

[PAVE]

Bonjour,

En Première on étudie les suites géométriques. Je pense que cela doit te dire quelque chose ?

La valeur initiale du véhicule A est 

u₀ = 22867

Si ce véhicule se déprécie de 2,4 % par mois, au bout d'un mois sa valeur résiduelle est 

u₁ = u_o - 2,4/100*u₀

     = u0 (1-2,4/100)

     = u0 * 0,976 

     = 22867 * 0976

Au bout de 2 mois u₂ = ??

Au bout de 3 mois u₃= ??

Au bout de n mois un= formule que tu dois pouvoir retrouver en généralisant ce qui précède ou en cherchant dans ton cours.

La première question se traduit :

trouver n pour que u_n < 1/2*u₀

_{Résoudre cette inéquation qu'il te faut d'abord trouver est une autre affaire ; en Première il te faut comme Pzorba te l'a dit, faire calculer par un tableur ou le mode TABleau de ta calculatrice, les valeurs successives de un.... jusqu'à arriver à la bonne .}

_{Essaye et dis nous ce que tu trouves.... ou pas} 

Salut à la Polynésie qui nous fait rêver par ce temps hivernal 

 

 

[Nathalie Hoang]

Chers professeurs, 

Vos sublissimes explications m'ont permise d'éclairer mes doutes. En effet, j'avais suivi la mauvaise voie , étant effectivement partie sur les fonctions exponentielles  !  Ainsi (u_n  ) et (v_n  )    sont  des suites géométriques (u_n  ) = 22867(1-2.4/100)ⁿ              et                 (v_n  ) = 18294(1-1.8/100)ⁿ                          

C'est à dire pour la question n°3 :

u_n < 1/2*u₀

u_n  = u₀ * qⁿ

En affichant le tableau des suites sur ma calculatrice je trouve pour u ₂₉ = 11354  

Et pour la question 2 , en suivant le même principe le véhicule de type B deviendra plus cher que celui de type A pour   n=₂₉  , ou en d'autres termes u_n < v_n   pour n= 29...

Est ce correct ?

Ps: Le froid hivernale a ses avantages et vous permet de profiter pleinement de l'Otium ! Que le soleil tropical illumine vos journées ! 

[PAVE]

A< B est à revoir ! pourquoi pas avec un tableur et quelques formules... pour le plaisir 

[pzorba75]

@Pave : Excellente réponse, à mettre en pièce jointe si possible après Format et séparateur de milliers dans les colonnes 2 et 3.

Et, en prime, bonne année 2018 et bonne santé.

 

[PAVE]

@ Toutes et à Tous

Bonne année 2018. Que la santé nous soit préservée au fil des ans qui s'écoulent inexorablement...

Et comme l'a dit ci dessus Nathalie : "profiter pleinement de l'Otium ! " Superbe  !!

@ Pzorba

Merci et effectivement, puisque nous avons la chance sur ce site de pouvoir mettre diverses sortes de fichiers, pourquoi ne pas joindre le fichier réalisé avec un tableur à l'occasion de cet exercice (désolé Pzorba mais je cotise toujours chez Mi(ster)soft...)

EB voitures.xlsx

[pzorba75]

Merci de votre réponse, le fichier s'ouvre correctement avec Libre Office Calc. J'ai abandonné les solutions Micro$oft Office que je trouve inutilement sophistiquées pour l'accompagnement des élèves niveau lycée. Je subis MS Windows 10 ne voulant pas prendre de risque avec Linux.