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DM de Mathématique 1ere S


Semoule54
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  • E-Bahut

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le vecteur AM{3-m;  1} est un vecteur directeur de sa droite MM' support et f(m) est l'ordonnée de cette droite support de coefficient directeur -1/(m-3) et donc d'équation réduite y=-x/(m-3) +f(m). L'expression de f(m) est déterminée en écrivant que la droite passe par A{3,1} ==> 1=-3/(m-3)+f(m) ==> f(m)=1+3/(m-3)
le graphe de f(m) est celui de la fonction, de référence  1/x  translaté d'un vecteur {3,1}. Cette fonction est donc uniformément décroissante sur son intervalle de définition R-{3}

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Bonjour, 

Étant donné m différent de 3, la droite (AM) n'est pas verticale et admet donc une équation de la forme : y = ax + b, avec "a" sa pente et "b" son ordonnée à l'origine. 

Sa pente est le rapport de la différence des ordonnées de A et M sur celle de leurs abscisses. Avec A (3;1) et M (m;0), cela donne : a = (0-1) / (m-3) , donc a = -1 / m-3 .

L'ordonnée à l'origine nous est donnée : b = f(m) . La droite (AM) a donc pour équation : y = (-1/m-3) .x + f(m).

Le point A appartenant à cette droite, ses coordonnées en vérifient l'équation : yA = a.xA + b, donc b = yA - a.xA 

En remplaçant "a" et "b" par les valeurs déterminées plus haut : f(m) = 1 - [(-1 × 3)/m-3] , ce qui donne bien : f(m) = 1 + (3/m-3)

Pour ce qui est des variations de f, il s'agit de se donner deux réels a et b tels que a <b , de sorte que les antécédents croissent, et d'étudier la manière dont évoluent leurs images par f. Autrement dit, on pose a <b et on cherche à savoir si cela entraîne f(a) < f(b), auquel cas les images croissent aussi et on dit que la fonction est croissante, ou si cela entraîne f(a) > f(b), la fonction étant alors décroissante. 

Le plus simple est de procéder par encadrements successifs. Tu pars de a <b et tu modifies pas à pas l'inégalité pour arriver à comparer f(a) et f(b) en respectant les règles sur les inégalités bien sûr. 

Ici cela donne : a <b <=> a-3 < b-3 . Pour le passage à l'inverse, on ne peut procéder que si les expressions sont de même signe. On va donc distinguer deux cas en se plaçant d'abord dans ]-∞; 3 [ , puis dans ]3; +∞ [ . (Dans les faits, ça ne changera rien au résultat final, mais c'est une précision importante).

On a donc : 1/ a-3 > 1/b-3 , puis 3/a-3 > 3/b-3 et enfin [1+ (3/a-3)] > [1 + (3/b-3)] , ce qui signifie f(a) > f (b). La fonction est donc décroissante sur son ensemble de définition. 

Modifié par C8H10N4O2
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