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Équation du 3e degré - naissance des nombres complexes


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Bonjour ! J'aurais besoin d'aide pour le début d'un devoir maison de terminale S sur le troisième degré (qui est apparemment hors programme...).

Au XVIe siècle, l'algébriste italien Tartaglia, puis Jérôme Cardan, proposents des méthodes pour résoudre une équation du troisième degré.

Partie A : Exemple : on veut résoudre l'équation : x3 = 3x + 14 (1)

1. On pose x = u + v

a) Que devient l'équation (1) en substituant (u + v) à x ?

J'ai trouvé u3 + v3 + 3uv(u2 + v2) = 3(u+v) + 14

soit  u3 + v3 + 3uv(u2 + v2) - 3(u+v) = 14

b) Quelle valeur suffit-il de donner au produit uv pour que (1) s'écrive : u3 + v3 = 14 ?

Je suis bloquée à cette question, car si je donne uv = 0, il me reste toujours le -3(u + v) :

 u3 + v3 + 3uv(u2 + v2) -3(u+v) = 14

Que vaut dans ce cas le produit u3v3 ?

J'imagine que si uv = 0 alors u3v3 =0 ?

((Hum aussi je suis nouvelle sur ce forum donc si j'ai enfreint des règles dites le moi tout de suite pour que je le refasse pas une deuxième fois))

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  • E-Bahut

J'ai trouvé u3 + v3 + 3uv(u2 + v2) = 3(u+v) + 14 faux!

(a+b)^3=a^2+3a^2b+3ab^2+b^3, en notation informatique.

Si tu utilises le livre Indice de chez Bordas, reporte toi à la page 221 Chap-07-Les nombres complexes où la méthode est bien expliquée.

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  • E-Bahut
il y a 16 minutes, wendying a dit :

Partie A : Exemple : on veut résoudre l'équation : x3 = 3x + 14 (1)

1. On pose x = u + v

a) Que devient l'équation (1) en substituant (u + v) à x ?

 u3+3 u2 v+3 u v2-3 u+v3-3 v=14

u3+v3+3uv(u+v)-3(u+v)=14

u3+v3+(3uv-3)(u+v)=14

b) Quelle valeur suffit-il de donner au produit uv pour que (1) s'écrive : u3 + v3 = 14 ?

uv=1

 

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