Dérivées partielles des fonctions de deux variables

[Ch00Ch00]

Bonjour, 

Je suis bloqué à l'exercice 1, je vois pas comment faire. 

Pour l'exercice 2, je pense avoir la réponse mais je ne suis pas sur. (il n'y a que la a ^^)

Merci d'avance, 

[Invité]

Bonjour,

1/ Je vous donne l'expression de α(t) dans les différents cas

a) α(t)=x²(t)y²(t)   , b) α(t)=sin(x(t)+3y²(t)), c)  α(t)=e^x(t) (x(t)y(t)+4)

et vous laisse proposer quelque chose

2/ Oui, c'est ça

[volcano47]

a(t)= x² y² (où x et y sont fonctions de la seule variable t

da = (DA/Dx) dx + (DA/Dy) dy  et on divise par dt  (da/dt = 2xy² x' + 2y x² y') sauf étourderie  

[Ch00Ch00]

Bonsoir JLN et volcano47,

Si j'ai bien compris, dans le cas général de l'exercice 1, on peut dire que a(t) = A(x(t),y(t)) = A(x,y)

Pour la dérivée partielle: da/dt = dA/dx + dx/dt + dA / dy + dy/dt 

Prenons la a) a(t) = u^2v^2 

On pose: a(t)= x^2(t) + y^2(t)

On a: da/dt = da/dx * dx/dt + dA/ dy * dy/dt  

 Or da/dx = 2xy^2 et dx/ dt = x'

Après calcul on trouve ce qu'a trouvé volcano47 

Est-ce bien ça ? 

[Ch00Ch00]

Pour l'exercice 1:

b) α(t)=sin(x(t)+3y²(t)) 

da/dt = dA/dx + dx/dt + dA / dy + dy/dt = cos(x+3y²) + 6ycos(x+3y²) = cos(x+3y²)(1+6y) 

 

[Barbidoux]

J'aurais dit  α(t)=sin(x(t)+3y²(t))  ==> α'(t)=cos(x(t)+3y²(t))*(x'(t)+6*y(t)*y'(t)) cela revient à dériver sin(u(t)) par rapport à t où u(t)=x(t)+3*y(t)^2 et u'(t)=x'(t)+6*y(t)*y'(t)

[Invité]

Pour le 1a)

α(t)=x²(t)y²(t)   =(xy)² 

α'=((xy)²)' =2(xy)(xy)' =2xy(x'y+xy')

Evidemment on retrouve ce qui a déjà été dit.

 

[Invité]

Il y a 12 heures, Ch00Ch00 a dit :

Bonsoir JLN et volcano47,

Si j'ai bien compris, dans le cas général de l'exercice 1, on peut dire que a(t) = A(x(t),y(t)) = A(x,y)

.../...

On a: da/dt = dA/dx * dx/dt + dA/ dy * dy/dt  

 Or dA/dx = 2xy^2 et dx/ dt = x'

Après calcul on trouve ce qu'a trouvé volcano47 

Est-ce bien ça ? 

Oui, c'est la façon correcte de présenter les choses. Noter que le dA/dx se noterait plutôt ∂A/∂x  ,à l'ancienne, ou D_xA, voire D₁A selon la tendance actuelle.

[Ch00Ch00]

Merci JLN, 

Voici ce que je trouve, pour l'exercice 1:

b) a'(t)= cos(x+3y^2)(x'+6yy')

c) a'(t)=e^x(xy+4)+ye^(x)+e^(x)xy'(t)

J'aurais, une question, à quoi sert c'est les dérivées partielles ? 

Par exemple pour la a) n'aurais-t-on pas pu utiliser f(x) = u*v 

f'(x)= u'v-v'u ? 

 

Merci 

 

[Invité]

Citation

 

Par exemple pour la a) n'aurais-t-on pas pu utiliser f(x) = u*v 

f'(x)= u'v-v'u ? 

 

Attention, c'est u'v+uv'. On aurait pu, oui. Comme u=x² et v=y^2, , u'=2xx' et v'=2yy', et l'on aurait retrouvé a'=2xy(x'y+xy')

Oui pour la b). Par contre la c) est inexacte.