Condition suffisante d'arrêt

[chacha778]

Bonsoir à tous, j'ai un exercice à faire mais je ne le comprend pas.

Le voici :

On considère la suite (U_n) définie pour tout n appartenant à N par U_n= n³+n

1. Quelle valeur le programme ci-dessous affiche-t-il si l'utilisateur rentre A= 10 000 ?

Programme :

n: entier

u,A : réels

Traitement

Demander A

Donner à n la valeur 0

Donner à u la valeur 0

Tant que (u < ou égal à A) faire

Donner à n la valeur n+1

Donner à u la valeur n³ + n

Fin Tant que

Sortie

Afficher la valeur de n

2. Justifier que le programme s'arrête quelle que soit la valeur de A rentrée par l'utilisateur.

J'ai essayer tant bien que mal de faire la question 1 mais sans résultat concret.. Je pensais donc remplacer A par la valeur donner mais je me perd arriver au niveau de ' donner à n la valeur n+1' Merci d'avance pour vos réponses !

[PAVE]

Bonsoir,

J'ai traité ton exercice avec Algobox pour conserver l'esprit "algorithme" de la question.

J'ai obtenu ceci :

Si cela peut t'aider....

Il est trop tard pour en parler. Demain si tu veux

[chacha778]

Bonjour, j'ai également fais le programme et je trouve pour n=22 ?

Pour la 2. J'ai dis que le programme s'arrêtera en fonction de la valeur de A car Un < ou égal à A ?

[PAVE]

Je ne sais pas ce que tu as déjà vu en cours mais quand n tend vers +oo, alors n³+n tend aussi vers +oo

(de même que la fonction définie sur I = [0;+oo] par f(x) = x³+x ==> quel que soit le nombre A positif que tu choisiras, f(x) finira par devenir plus grand que A)

Tu as utilisé Algobox pour faire ton programme ? 

[Barbidoux]

2. Justifier que le programme s'arrête quelle que soit la valeur de A rentrée par l'utilisateur.
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La suite u_n est croissante car quelque soit la valeur de n, u_n+1-u_n=(n+1)³+(n+1)-n³-n>0
Lorsque n-> ∞ alors u_n->∞ ce qui fait que quelque soit la valeur A entrée dans le programme u_n finira par l'atteindre et le programme s'arrêtera. Sous réserve cependant que la valeur de A soit compatible avec le nombre maximum d'itérations permises dans la boucle "Tant que"  (500 000 itérations dans le cas d'Algobox utilisé par PAVE pour programmer l'algorithme).

[chacha778]

Non je me suis servie de ma calculatrice, j'ai fais le programme dessus, oui en cours nous avons vu les limites justement, et  que n tendra bien vers + l'infini

Ma justification n'était donc pas bonne ? ( incomplète je le sais mais je veux dire avais-je compris au moins ce qui était attendue ? )

[PAVE]

Ce qui me gêne dans ta réponse, c'est l'argument final :"car Un < ou égal à A "

Que U_n soit inférieur à  A au départ (U= 0) oui ; que Un augmente (croisse) quand n augmente, soit ! mais cela n’entraîne pas obligatoirement que pour une valeur suffisamment grande de n, U_n va atteindre A et le dépasser !! Ici c'est le cas mais ton argument ("car Un < ou égal à A ") n'est pas suffisant pour l'affirmer.