Problèmes d'optimisation

[MrX]

Bonsoir,

Alors voici l'énoncé: Une boîte pèse 6kg et se vend 35$ tandis qu'une boite blanche pèse 3kg et se vend 17$.On veut plus de boîtes blanches que de noires, mais un maximum de 60 boîtes blanches.Le camion qui les transporte ne peut dépasser une charge de 270 kg. Combien de boîtes de chaque sorte doit-on avoir pour maximiser les revenus?

voici ce qu'en j'ai fais :

Étape 1: x:nombre de boîtes noires    

y:nombre de boîtes blanches

Étape 2:

x>=0

y>=0

y>x pour ça j'ai choisi le couple solution (60,75)

y<=60

6x+3y<=270,x=45 et y=90

Fonction objectif:

C=35x+17y

Apred pour le graphique je n'en sais pas comment vous le dessinez ici sans le prendre en photo donc je vais vous le montrer en photo avec les coordonnés de sommet que ca m'a donné plus la réponse qu'en j'ai entouré sans l'écrire parce que je ne suis pas sur que c'est bon. Merci de votre aide.

[Denis CAMUS]

Bonjour,

Si on prend " On veut plus de boîtes blanches que de noires " au sens strict, ta réponse ne va pas, car on a alors autant de boites blanches que de noires.

[MrX]

D'accord Mais pour que y sois plus que ça je ne vois pas comment faire puis pour la régler y<x on doit choisir des points au hasard. Merci de votre aide

[Barbidoux]

On appelle y le nombre de boites blanches et x le nombre de boites noire. Les contraintes sont les suivantes :
On veut plus de boîtes blanches que de noires ==> y>x
mais un maximum de 60 boîtes blanches ==> y<60
Le camion qui les transporte ne peut dépasser une charge de 270 kg ==> 6*x+3*y≤270 soit 2*x+y≤90
On trace le graphe des trois droites y=x; y=60 et y=90-2*x qui définit la zone respectant les contraires.

Dans cette zone on choisit, pour que le revenu soit maximal, le couple d'entier {x,y} tel que x puis y soient  maximal c'est à dire {29,32}. Le revenu maximal vaut alors 35*29+17*32=1559 $

[MrX]

DOnc le 44 et 45 que vous avez choisi c'est pour la règle y>x? De plus vu que y est plus petit que 60 dans l'autre règle ça veut dire que mes couples solutions aurait pu être bon si ça aurait été en bas de 60?Merci de votre aide

[Barbidoux]

Il y avait  une erreur dans le tracé des graphes précédents (javais tracé 90-x au lieu de 90-2*x), erreur que j'ai rectifiée...  mais cela ne change rien au raisonnement

Dans la zone de contrainte tous les couples d'entiers respectent les contraintes. Si l'on désire avoir un revenu maximal, comme la boite noire se vend plus cher que la boite blanche on recherche dans cette zone l'entier (ou les entiers) qui ont la plus grande valeur, soit x=29 (nombre maximal de boites noires) . Pour cette valeur on recherche ensuite  l'entier qui a la plus forte valeur y (nombre maximal de boites blanches correspondant au maximum de boites noires) j'ai obtenu 31 mai cela reste à vérifier). Le couple obtenu correspond au revenu maximal.

[MrX]

Donc on aurait pu choisir n'importe quel x et y tant que et y dépasse le x sans allez à dépasser 60?

[Barbidoux]

On aurais pu choisir n'importe couple {x,y} dans la partie verte du graphe (zone de contrainte). Tous ces couples respectent les contraintes imposées y<60, y>y et y>90-2*x. Seul le couple  {29,31} correspond à un revenu maximal.

[MrX]

D'accord Merci 

[MrX]

Mais mon graphique ce que l'ai fais ,la zone où est que j'ai hachurer était bon à date sauf la règle y>x?Merci de votre aide

[Invité]

Si on enlève une boîte blanche (6kg), on peut mettre 2 boîtes noires à la place (2*3kg) et le revenu devient 29*35+32*17=1559 $. On a perdu un seul $ par rapport au couple (30, 30).

Je me trompe ?

[Barbidoux]

Non, bien vu.

(on admet que le camion qui les transporte ne peut dépasser une charge de 270 kg) j'avais pris comme contrainte ==> 6*x+3*y<270 soit 2*x+y<90 alors que j'aurais du prendre 6*x+3*y≤270 soit 2*x+y≤90

J'ai mal interprété le " ne peut dépasser".... Je vais rectifier la figure

[Denis CAMUS]

Si on enlève une boîte noire (6kg), on peut mettre 2 boîtes blanches à la place.

[Invité]

J'avais interverti les couleurs, mais le résultat est bien revenu max=29*35+32*17=1559 $

[Denis CAMUS]

Oui. Vérifié aussi avec Excel.

[MrX]

Alors après y ou tu ce que vous m'avez dis voici ce que j'ai fais ça semble bon?Merci de votre aide.

[Invité]

44*6+45*3=399 kg, le camion roule (péniblement) sut les jantes !

[MrX]

Pourquoi x6 et x3bde plus barbidoux m'avait dis que ces points étaient bons

[Invité]

Je calculais la masse à transporter, le camion ne peut transporter plus de 270 kg.

[MrX]

Je comprends toujours pawn j'attendrais seulement le prof lundi quand y donnerait les explications avec les démarches de la solution à l'an prochaien