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Les suites par récurrence


Grace

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Bonjours, j'ai un devoir maison que je dois rendre très prochainement mais je bloque totalement. Alors j'aimerais vraiment qu'on puisse m'éclaircir les idées afin de pouvoir enfin finir ce dm. Merci d'avance 

Voici l'énoncé :

On considère la suite (Un) définie par Uo=0 et pour tout entier naturel n, Un+1=Un^2+1.

Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n >(plus grand ou égale à)4 , Un>(plus grand ou égale à) 2^n

Voilà merci d'avance pour votre compréhension!!   

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il y a 32 minutes, Grace a dit :

Bonjours, j'ai un devoir maison que je dois rendre très prochainement mais je bloque totalement. Alors j'aimerais vraiment qu'on puisse m'éclaircir les idées afin de pouvoir enfin finir ce dm. Merci d'avance 

Voici l'énoncé :

On considère la suite (Un) définie par Uo=0 et pour tout entier naturel n, Un+1=Un:carre:+1.

Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n>=4 , Un>=2^n

Voilà merci d'avance pour votre compréhension!!   

 

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il y a 3 minutes, pzorba75 a dit :

u4=26 u4>24. La proposition est initialisée au rang 4.

un>2n

un+1=(un)2+1=u2n+1 or u2n>2n+1, la proposition est héréditaire.

À toi de rédiger et de conclure.

Alors j'ai compris la partie d'initialisation en revanche je ne comprends pas l'hérédité . 

Merci pour vos explications en tout cas !

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  • E-Bahut

En fait, le problème vient d'un u qui s'est malencontreusement substitué à un 2 (u2n au lieu de 22n).

Moi, j'aurais raisonné ainsi

un>2n => (un)²>22n => (un)²+1>22n+1

Reste à montrer que 22n+1>2n+1 soit 22n+1-2n+1>0

Or 22n+1-2n+1=22n+1-2*2n=(2n-1)² qui est bien positif (0 est exclu puisque n est supérieur ou égal à 4).

Conclusion,  un+1>2n+1, l'hérédité est vérifiée.

 

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Bonjour,

Désolé de répondre si tardivement.

Déjà, merci de m'avoir éclaircit les idées je commence à comprendre. Le seule petit problème, c'est que ma prof de maths m'as donné une solution qui n'est pas tout a fait la même. 

Voici son idée :

Un+1=Un:carre:+1 (d'après l'énoncé)

Un+1>2^n +1 (hypothèse de récurrence)

A ce moment là elle propose de comparer : 2^n +1 - 2^n+1>0

j'ai donc calculé et j'ai trouver 2>0

Donc est ce normale sachant que je ne trouve pas le même résultat que vous ?

Et que dois-je faire avec ce résultat ?

 

 

 

 

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Il y a 8 heures, pzorba75 a dit :

Ton dernier message est incompréhensible, utilise les boutons de mise en forme des indices X2 et exposants X2, sinon tu perds ton temps et ceux qui peuvent t'aider n'ont pas de temps à perdre non plus!

Je n'y arrive pas

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Il y a 20 heures, Grace a dit :

Bonjour, j'ai tant bien que mal essayer d'être le + compréhensible possible..!

Désolé de répondre si tardivement.

Déjà, merci de m'avoir éclaircit les idées je commence à comprendre. Le seule petit problème, c'est que ma prof de maths m'as donné une solution qui n'est pas tout a fait la même. 

Voici son idée :

Un+1=Un:carre:+1 (d'après l'énoncé)

Un+1>2(puissance n)+1 (d'après l'hypothèse de récurrence)

A ce moment là elle propose de comparer : 2(puissance n)+1 - 2(puissance n+1)>0

j'ai donc calculé et j'ai trouver 2

Donc est ce normale sachant que je ne trouve pas le même résultat que vous ?

Et que dois-je faire avec ce résultat ?

Désolé, étant connecté sur ce forum Avec mon téléphone c'est peut être pour cela que je ne peux écrire en écriture mathématiques. Mais si cela vous cause problème laisser tomber je me débrouillerais seule! 

En revanche, merci d'avoir pris le temps de me répondre et merci beaucoup de vos conseil!!!!! 

 

 

 

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  • E-Bahut

Si on repart du début :

Hypothèse de récurrence Un≥2n => Un²≥(2n)² soit Un²≥22n.

D'après l'énoncé, Un+1=Un²+1, ce qui, compte tenu de la ligne précédente, donne Un+1≥22n+1

On suggère alors de comparer 22n+1 et 2n+1.

Or 22n+1-2n+1=22n+1-2*2n=(2n-1)² qui est toujours positif ou nul, donc 22n+1-2n+1≥0.

Il s'ensuit que 22n+1≥2n+1.

La proposition est héréditaire.

 

 

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