Fonctions numériques

[mwilli]

Bonsoir à tous,

S'il vous plaît, merci de votre aide pour résoudre cet exercice:

Pour tout n 2, on pose f(x)=rac (x^n) / (rac(x²+1)) et soit Cn sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 

1/a/ Etudier la parité de fn

 b/ étudier  les branches infinies de fn

2/ Montrer que toutes les courbes Cn passent par deux points fixes à déterminer.

3/Suivant la parité de n, étudier la position relative de Cn et Cn+1.

4/ Etudier suivant les valeurs de n, les variations de fn.

5/ Préciser la tangente à l'origine.

6/ On définit la suite (Un) par U0 élément de ]0;1[ et Un+1 = fk (Un), k étant un réel fixe.

Montrer que 0 < Un < 1.

  

1/a/ fn paire lorsque n est pair et impaire sinon.

b/  

Merci d'avance de vos explications détaillées destinées à un apprenant au profil atypique.

Bien cordialement

[pzorba75]

1a) f_n est paire si f_n(-x)=f(x)

Distinguer 2 cas n pair, k entier naturel >=1 où f_2k est paire et n impair où f_2k+1 est définie sur R+ seulement, donc ni paire ni impaire.

1b) Limites f_2k tend vers +infty sur ses 2 branches et f_2k+1 tend vers +infty.

 

2) f_n(0)=0 toutes les courbes C_n passent par (0;0).

pour n=2k, f_n(1)=1\sqrt(2)=sqrt(2)/2 les courbes C_2k passent par (1;sqrt(2)/2))

3)  Etudier le signe de f_2k+1(x)-f_2k(x) pour x>=0 , factoriser pour distinguer [0;1] et [1;+\infty[

4) Dériver fn, tableau de signes pour conclure f_2k décroissante puis croissante et f_2k+1 croissante sur [0;+infty[.

 

À toi de travailler. Préciser le côté atypique du profil.

[PAVE]

Bonjour, 

Pour "illustrer" les explications de Pzorba :

* une copie d'écran des courbes tracées avec GEOGEBRA

* un lien vers le fichier applicatif de GEOGEBRA qui permet d'obtenir ces courbes (GEOGEBRA logiciel gratuit facilement téléchargeable)

EB chinguetti.ggb

Cela ne démontre rien mais permet de voir, de comprendre et de VERIFIER la théorie.

[mwilli]

Bonjour pzorba75 et PAVE,

Merci infiniment à vous deux pour vos réponses. Je commence leur exploitation. 

pzorba75: "le côté atypique" de mon profil est en partie résumé par la citation de Virgile que vous donnez.

En fait, je ne suis plus en classe depuis longtemps. Je me suis inscrit dans ce forum pour réapprendre, approfondir ou simplement découvrir, des notions oubliées, ignorées ou insuffisamment comprises. Un autre aspect peut-être qui fait que mon profil est atypique, réside dans ma "méthode de travail": après avoir cherché à résoudre personnellement un exercice, sans y parvenir, je sollicite de l'aide pour sa résolution (détaillée, car n'oublions pas que je j'apprends seul, ou plutôt grâce à vous). Une fois le corrigé bien expliqué disponible, je réessaie, quelques jours plus tard, de refaire seul le même exercice, sans consulter le corrigé et ensuite je cherche (sur le net ou dans des documents que je me procure) des exercices similaires ou voisins que j'essaie de résoudre seul sans appui....et ainsi de suite; c'est comme ça que j'avance depuis deux ou trois ans et je trouve que cette méthode me convient parfaitement (même si je sais par ailleurs qu'elle ne recueille pas nécessairement l'assentiment des professionnels en la matière...).

Voilà, je pense avoir répondu à la question de pzorba75, et je reste à votre entière disposition pour plus amples détails.

Merci encore et à bientôt!

[pzorba75]

Merci  et bonne continuation dans ta démarche. Il existe de nombreux sites où tu trouveras des documents très bien faits, rédigés par des professeurs rigoureux qui permettent de retrouver bien des démonstrations apprises, pas toujours comprises et très souvent oubliées avec le temps qui passe.

[mwilli]

Merci beaucoup pzorba75 et merci à vous tous.

A très vite