Dérivabilité

[Shelly213]

Bonjour,

J'ai besoin de votre aide. Merci d'avance,

Exercice 1: f(x) = x² * (x²)*ln(x²)    si x est différent de 0

                           0   si x= 0

1) Vérifier que f est dérivable sur R et calculer f'

Comment vérifier que f est dérivable sur R ? 

(J'ai réussi à dérivé)

2) La fonction f est-elle deux fois dérivable sur R ? 

Comment le montrer ?

Exercice 2: Justifier la dérivabilité et calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes

f(x) = x^4 - 3x² + 1

h(x) = xⁿ +(n+1)x^n-1 + 3 pour n≥2

g(x) = (2x +1)(-4x² + 1)

i(x) = (2x+3)³

k(x) = sqrt(x² - 1)

J'ai réussi à dérivée, mais je ne vois pas comment justifier la dérivabilité. 

Exercice 3: Déterminer la dérivée nième   des fonctions suivantes: 

f1(x) = xe^x 

 

Merci d'avance, 

[pzorba75]

Pour justifier la dérivabilité, il faut démontrer que lim_{h->0)[f(x+h)-f(x)]/h existe et c'est tout.

[Shelly213]

Merci beaucoup pzorba75  

[Shelly213]

Il y a 2 heures, pzorba75 a dit :

Pour justifier la dérivabilité, il faut démontrer que lim_{h->0)[f(x+h)-f(x)]/h existe et c'est tout.

Dois-je aussi le faire pour l'exercice 2 ? 

Je ne peux pas dire que tout polynôme est dérivable sur R ? 

Merci d'avance,

[Barbidoux]

Exercice 1: f(x) = x²*(x²)*ln(x²)    si x est différent de 0

                           0   si x= 0

1) Vérifier que f est dérivable sur R et calculer f'

———————

x^4 dérivable sur R  et ln(x^2) dérivable sur R ==> f(x) dérivable sur R 

f’(x)=4*x^3*ln(x^2) +2*x^3

———————

2) La fonction f est-elle deux fois dérivable sur R ? 

———————

x^3 dérivable sur R  et ln(x^2) dérivable sur R ==> f’(x) dérivable sur R ==> f est deux fois dérivable sur R

———————

Exercice 2: Justifier la dérivabilité et calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes

même méthode de justification que pour la partie 1

f(x) = x^4 - 3x^2 + 1 ==> 4*x^3-6*x

h(x) = x^n +(n+1)x^(n-1)+ 3 pour n≥2 ==> h’(x)=n*x^(n-1) +(n+1)*(n-1)*x^(n-2)

g(x) = (2x+1)(-4x^2+1) ==> g’(x)=-24*x^2-8*x+2

i(x) = (2x+3)^3 ==> i’(x)=6*(2x+3)^2

k(x) =√(x^2 - 1) On pose (x^2-1)=y et on utilise la dérivabilité de √y ===>k(x) définie sur [1, ∞ [ mais pas dérivable en 1 donc dérivable sur ]1,∞[ et k’(x)=x/√(x^2 - 1)

 

Exercice 3: Déterminer la dérivée nième   des fonctions suivantes: 

f₁(x) = xe^x 

f’₁(x)=exp(x)+xe^x 

on suppose que fⁿ’₁(x)=n*exp(x)+x*exp(x)

f⁽ⁿ⁺¹⁾’₁(x)=n*exp(x)+ exp(x)+x*exp(x)=(n+1)*exp(x)+x*exp(x)

la relation étant héréditaire elle et vérifié pour toute valeur de n et fⁿ’₁(x)=n*exp(x)+x*exp(x)

 

[Shelly213]

Merci, 

Ne puis-je pas dire pour f(x) f est une fonction polynôme donc dérivable sur R ? 

g(x) est le produit de deux fonctions u et v dérivables sur R donc g est dérivable sur R 
.... 

 

Merci pour votre aide,

[Barbidoux]

il y a 6 minutes, Shelly213 a dit :

Merci, 

Ne puis-je pas dire pour f(x) f est une fonction polynôme donc dérivable sur R ? 

g(x) est le produit de deux fonctions u et v dérivables sur R donc g est dérivable sur R 
....

oui c'est cela il faut faire appel à des dérivabilités connues, dérivée d'un polynôme de la fonction ln,de √x ou des fonctions composées .....

 

[Shelly213]

il y a 30 minutes, Barbidoux a dit :

 

Merci pour votre réponse, 

Pour la fonction racine carrée:

f(x) = sqrt(x^2 - 1)

x -> x^2 -1 est dérivable sur R

x -> sqrt est dérive sur R+

par composition x -> sqrt(x^2 - 1) est dérivable sur R

Est-ce que cela prouve la dérivabiité ? 

Merci d'avance, 

[Barbidoux]

il y a 33 minutes, Shelly213 a dit :

Merci pour votre réponse, 

Pour la fonction racine carrée:

f(x) = sqrt(x^2 - 1)

x -> x^2 -1 est dérivable sur R

x -> sqrt est dérive sur R+

par composition x -> sqrt(x^2 - 1) ==> f(x) est dérivable sur R+