Théorème des valeurs intermédiaires

[Ch00Ch00]

Bonsoir, 
Je ne vois pas comment faire à ces exercices. 

1) Soit P = x^13 + 9x^6 + 12^5 + 2015x^2 + 2016 - 2020. Montrer que P possède au moins une racine réelle. 

D'après mon cours, '' tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle ''. 
 je ne vois pas comment faire. 

2) Soit la fonction f définie sur [0,1] par f(x) = (x^3+ sqrt(x+1)) / (x^2 + 1). L'équation f(x) = 0 admet-elle une solution ? 
x -> sqrt(x) est continue sur R+ 
x -> x + 1 est continue sur R 
par composition x -> sqrt(x+1) est continue sur R privé de ]-oo ; -1] 
x -> x^2 est continue sur R+ 
x -> x^2 + 1 est continue sur R+ 
Par quotient (x^3 + sqrt(x+1))/(x^2+1) est continue sur R+ 

f est bien définie sur [0,1]

f(0) = 1 > 0 
f(1) = (1+sqrt(2))/2 > 0 
f ne s'annule pas donc, l'équation f(x) = 0 n'admet aucune solution.
Merci d'avance, 
Est-ce que ma rédaction est bonne ? 
 

3) Si I = [a,b] peut on dire que f([a,b]) = [f(a),f(b)]. Donner une explication à laide d'un graphe puis un exemple analytique. 

J'ai fait le graphe, mais je ne vois pas d'exemple analytique. 

4) Donner le domaine de définition de f(x) = x + e^x 

x est définie sur R

e^x est définie sur R+

donc f(x) est définie sur R 

Merci d'avance pour vos aides,

 

[PAVE]

Bonsoir,

 

Juste en passant pour le 1)....

1) calcule P(0)

2) calcule P(1)

3) relis dans ton cours, le chapitre en rapport avec... le TITRE DE TON MESSAGE

(tu remarqueras que l'énoncé ne te demande pas de calculer cette racine et que peut-être il y en a plus d'une.... "au moins une" !)

 

et pour le 4)

Citation

e^x est définie sur R+

Cela est faux ! La fonction exponentielle est définie sur IR. Quelque soit x € IR, e^x est définie (mais bien sûr e^x est un nombre strictement positif :-) 

[Barbidoux]

Il y a 1 heure, Ch00Ch00 a dit :

Bonsoir, 
Je ne vois pas comment faire à ces exercices. 

1) Soit P = x^13 + 9x^6 + 12^5 + 2015x^2 + 2016 - 2020. Montrer que P possède au moins une racine réelle. 
P définie et continue sur R
x->∞ ==> P->∞
x->-∞ ==> P->-∞ ==> TVI au moins une racine

 

[Barbidoux]

2) Soit la fonction f définie sur [0,1] par f(x) = (x^3+ sqrt(x+1)) / (x^2 + 1). L'équation f(x) = 0 admet-elle une solution ? 

f(x) est continue sur [0,1], sur cet intervalle x^3≥0 et √(x+1)>0 ==> (x^3+ √(x+1))>0 de même (x^2+1)> ==> f(x)>0 donc (cf. TVI) ==> f(x)=0 n'a pas de solution sur cet intervalle