Nombres complexes

[Boulips]

Bonjour tout le monde, 

Je suis bloqué dans mes exercices. J'aurai besoin de votre aide pour m'aider, je vous remercie d'avance. 

Exercice 1:

Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants:

1) -2e^iπ/4

-2(cos(π/4) + isin(π/4))

Or le module est -2 < 0

=> 2(-cos(π/4) - isin(π/4))

=> 2(cos(3π/4) + isin(3π/4))

2) ie^iπ/6

Je ne vois pas comment faire pour celui ci.

Exercice 2:

Calculer

1) (V3 - i)²⁰

Pour moi, je dirais pour calculer la puissance élevée, on utilise la forme trigonométrique. Puis utiliser la formule de Moivre qui permet de simplifier le calcul.

z = (V3 - i)

I z I = V4 = 2

cos O = V3/2

sin O = 1/2

O = π/6 + 2kπ

2(cos(π/6) + isin(π/6))

Je ne vois pas comment utiliser la formule de Moivre. 

2) (1 + iV3)⁹

z = (1 + iV3)

I z I = V4 = 2

cos O = 1/2

sin O = V3/2

O = π/6 + 2kπ

2(cos(π/3) + isin(π/3))

Merci d'avance, 
Boulips 

[Boulips]

Exercice 3: 

Soient les nombres complexes z1 = 1 + i et z2 = V3 - i

1. Ecrire z1z2 sous forme algébrique et exponentielle.

Pour la forme algébrique; je trouve: Z= V3 - i + iV3 + 1

Pour calculer le module, je ne vois pas comment faire. 
Je vous remercie d'avance, 

2.Déduire les valeurs exactes de cos(π/12) et sin(π/12)

Je vous remercie d'avance, 

[pzorba75]

Pour 

2) ie^iπ/6

Je ne vois pas comment faire pour celui ci.

Tu peux écrire i=e^i*pi/2 et faire e^i*pi/2 _*e^i*pi/6, et arranger cette expression en forme trigonométrique.

 

[Barbidoux]

1) ----------------
-2eiπ/4

-2(cos(π/4) + isin(π/4))

Le module vaut 2   => 2(-cos(π/4) - i*sin(π/4)) => 2(cos(5π/4) + i*sin(5π/4))
2-------------
(√3-i)²⁰=(2*(√3/2-i/2))²⁰=2²⁰*exp(-i*π/6)²⁰=2²⁰*exp(-i*20*π/6)=2²⁰*exp(-i*10*π/3)=2²⁰*exp(i*2*π/3)=2¹⁹*(-1+i*√3)

 

[Boulips]

Bonjour pzorba75 & Barbidoux, 

Je vous remercie pour votre aide.

2) ieiπ/6

Je trouve pour la forme trigonométrique: (cos(2π/3) + isin(2π/3))

Barbidoux, je ne comprend pas les étapes. J'ai essayé de refaire mais je ne comprend pas. J'ai essayé de faire quelque chose, mais je ne vois pas comment simplifier " -10π/3 ". Je ne sais pas si cette méthode est bonne ou pas.

 

Je vous remercie d'avance et pour vos aides  

[pzorba75]

À 2*pi près , tu obtiens la même chose que barbidoux que je salue bien.

[Boulips]

"

À 2*pi près " veuillez m'excuser mais je ne comprend pas.

 

Merci d'avance,

[Boulips]

Je pense avoir trouver pour simplifier -10π/3 j'ai utilisé la mesure d'angle principale. J'ai donc trouvé 2π/3. Est ce bon ? 

Merci d'avance,

[pzorba75]

2*pi/3 est la mesure principale, ta réponse est correcte.

[Boulips]

Merci beaucoup pour votre aide pzorba75  

[pzorba75]

L'essentiel de l'aide provient de barbidoux.

[Boulips]

Oui ^^

Pour (1 + iV3)9   

Je procède la même méthode, mais j'ai un doute:

=2⁹(cos(9π/3) + isin(9π/3))

=2⁹(cos(3π) + isin(3π))

=2⁹(cos(2π + π) + isin(2π + π)) car les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π

=2⁹(cos(π) + isin(π)) Or cos(π) = -1 et sin(π) = 0

= -2⁹

Et aussi,

Soient les nombres complexes z1 = 1 + i et z2 = V3 - i

1. Ecrire z1z2 sous forme algébrique et exponentielle.

z1z2 = (1+i)(V3 - i)

= V3 - i + iV3 + 1

= (V3+1) i(V3 -1)
 

Iz1z2I = Iz1I * Iz2I

= V2 * 2 = 2V2 

Je suis bloqué à la partie pour tétha = argument(z) + 2kπ

cos O = (V3+1) / 2V2 = (V6 + V2) / 2

sin O = (V3 - 1) /2V2 = (V6 - V2) / 2

Merci d'avance, 

 

[Barbidoux]

z₁=1+i=√2*exp(i*π/4)=√2*exp(i*π/4)
z₂=√3-i=2*cos(-π/6)+i*sin(-π/6)=2*exp(-i*π/6)
z₁*z₂=√2*exp(i*π/4)*exp(-i*π/6)=2*√2*exp(i*π/12)
z₁*z₂=(1+i)*(√3-i)=(1+√3)+i*(-1+√3)=2*√2*exp(i*π/12)=2*√2(cos(π/12)+i*sin(π/12))
==> cos(π/12)=(1+√3)/(2*√2) et sin(π/12)=(-1+√3)/(2*√2)

Un bonjour à Zorba à qui je souhaite une agréable soirée.

[Boulips]

Bonsoir Barbidoux,

Merci pour votre aide, il suffisait de calculer séparément l'argument de z1 et z2 --'. 

Merci encore et bonne soirée,