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Variable aléatoire


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Bonjour, 

J'ai un exo de mal auquel je n'ai pas pu répondre à toutes les questions. Pourriez vous me corriger ? 

 

Une machine fabrique des tiges métalliques de longueur 60 mm. Une tige doit avoir une longueur de 59,8 mm à 60,2 mm pour être utilisable. Si elle est trop longue, elle peut être raccourcie, mais si elle est trop courte, elle ne peut pas être vendue, et est donc défectueuse. 

On note L la variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur.
On suppose que la variable aléatoire L suit la loi normale N(60 ; 0,12).
On prélève une tige au hasard dans la production.

1. Calculer la probabilité que la tige soit utilisable.

--> P(59,8<X<60,2) » 0,904 donc 90,4 %.

2. Calculer la probabilité que la tige soit rectifiable.

--> P(60,2>X). Soit 1 – P(60,2>X) »1 – 0,829 = 0,171 donc 17,1 %.


3. Déterminer, sans utiliser la calculatrice, la probabilité que la tige soit défectueuse. Expliquer.

--> -----
4. Déterminer un nombre réel h tel que P(60−h<L<60+h) 0,95. Expliquer.

--> -----

Les tiges sont conditionnées par boîtes de 100.
On note D l’événement «une tige prélevée au hasard dans la production est défectueuse ». On prendra P(D)= 0,05. On considère la variable aléatoire X qui, à une boîte de 100 tiges, associe le nombre de tiges défectueuses qu’elle contient.

1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale ; préciser ses paramètres.

--> Les tiges sont sélectionnées 100* donc il y a répétition ; elles sont choisies indépendamment ; l'issue correspond à la tige défectueuse et l'échec à la tige utilisable. 


2 . Calculer les probabilité P(X =4), P(X 4) et P(X 4).

-->  P(X = 4) = 0,178 

P(X < 4) = 0,436 

P(X > 4) = 1 – P(X < 3) = 0,742

3. Pourquoi n’a-t-on pas P(X 4)+P(X 4) = 1 ?

--> ----
4. Calculer l’espérance mathématique E(X ) de cette variable aléatoire et interpréter le résultat.

--> 100 * 0,05 = 5.

On peut espérer avoir 5 tiges métalliques défectueuses.

On considère que la proportion de 5 % de tiges défectueuses est acceptable.
1. Donner l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des tiges défectueuses dans un échantillon de taille 1000.

---> ----
Pour savoir si la machine est correctement réglée, on prélève au hasard un échantillon 1000 tiges dans lequel on dénombre 75 tiges défectueuses.
2. Quelle est la fréquence des tiges défectueuses dans l’échantillon ?

--> 75/1000 = 0,075 donc 7,5 % de tiges défectueuses.


3. Le réglage de la machine doit-il être modifié ? Justifier.

--> Oui, la proportion de tiges défectueuses est ici de 7,5 % alors qu'elle doit être de 5 %.

La direction, voulant faire des économies, demande que la proportion de tiges défectueuses soit diminuée. Après avoir modifié les réglages, on prélève un nouvel échantillon de taille 1000 dans lequel on dénombre 40 tiges défectueuses.
1. Déterminer un intervalle de confiance, au niveau 95 %, de la proportion de tiges défectueuses après cette modification.

--> --
2. Peut-on considérer que la proportion de tiges défectueuses a baissé significativement ? Expliquer.

--> ---

 

Je n'ai pas réussis à répondre à certaines questions. Merci d'avance pour votre aide. 

 

 

 

 

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  • E-Bahut
Citation

2. Calculer la probabilité que la tige soit rectifiable.

--> P(60,2>X). Soit 1 – P(60,2>X) »1 – 0,829 = 0,171 donc 17,1 %

Bonsoir,

 

Pour le 1) je trouve comme toi mais pour le 2..... je pense qu'il y a un problème.

Citation

3. Déterminer, sans utiliser la calculatrice, la probabilité que la tige soit défectueuse. Expliquer.

--> -----
4. Déterminer un nombre réel h tel que P(60−h<L<60+h) 0,95. Expliquer.

--> -----

Pour ces 2 questions je pense que l'on t'a appris à passer par la  variable centrée réduite  et à utiliser la fonction PHI ?

Dis moi.

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  • E-Bahut

1 Calculer la probabilité que la tige soit utilisable.
-------------------
Une tige utilisable doit avoir une longueur soit comprise entre 59,8mm et 60,2mm
P(59,8<X<60,2)= 1-LOI.NORMALE(60.2;60;0.12;VRAI)-LOI.NORMALE(59.8;60;0.12;VRAI)=0,904=90,4%.
------------------

2 Calculer la probabilité que la tige soit rectifiable.
-----------------
Pour que la tige soit rectifiable il faut que sa longueur soit supérieure à 60.2
P(X>60.2)=1-P(x≤60.2)=0.0478=4.78%
----------------

3  Déterminer, sans utiliser la calculatrice, la probabilité que la tige soit défectueuse. Expliquer.
---------------
Pour une loi normale centrée en m on a P(X≤m-a)=P(X≥m+a) ==> la probabilité que la tige soit défectueuse vaut P(X≤60-0.2), la probabilité que la tige soit rectifiable vaut P(X≥60-0.2)
==> P(X≤60-0.2),=P(X≥60-0.2)=0.0478=4.78%
---------------

4  Déterminer un nombre réel h tel que P(60 -h < L < 60+h)≈0,95 Expliquer 

---------------
Dans le cas d'une loi normale d'écart type s on a P(X-2*s≤X≤X+2*s)=0.95 ==> h=2*s=0.24

 

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  • E-Bahut
  Les tiges sont conditionnées par boîtes de 100. On note D l'événement «une tige prélevée au hasard dans la production est défectueuse ». On prendra P(D) = 0,05. = On considère la variable aléatoire X qui, à une boîte de 100 tiges, associe le nombre de tiges défectueuses qu'elle contient.  1  Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale ; préciser ses paramètres.

---------------
Chaque prélèvement est un expérience de type Bernouilli avec remise. Les prélèvement peuvent être considérés comme indépendants ce qui fait que la variable aléatoire X qui, à une boîte de 100 tiges, associe le nombre de tiges défectueuses qu'elle contient suit une loi binomiale de paramètres (100, 0.05)
---------------

2  Calculer les probabilité P (X=4 ), P (X≤4 ) et P (X≥4 ).
--------------
P(X=4)=
P(X≤4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)==LOI.BINOMIALE(4;100;0.05;VRAI)=0.436=43.6%
P (X≥4 ).=1-P(X<4)==1-LOI.BINOMIALE(3;100;0.05;VRAI)=0.742=74.2%
--------------

3  Pourquoi n'a-t-on pas P(X≤4)+P(X ≥ 4)=1?
-------------
La loi binomiale n'est pas une loi à densité et dans la relation P(X≤4)+P(X ≥ 4)=1 la probabilité P(X=4) intervient deux fois. La relation correcte s'écrirait P(X≤4)+P(X> 4)=1 ou P(X<4)+P(X ≥ 4)=1
-------------

4  Calculer l'espérance mathématique E(X )de cette variable aléatoire et interpréter le résultat.
-------------
Dans la cas d'une relation binomiale : E=n*p=100*0.05=5
Il y a en moyenne 5 tiges défectueuses par paquet de 100
-------------

 

On considère que la proportion de 5 % de tiges défectueuses est acceptable.  1  Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des tiges défectueuses dans un échantillon de taille 1000. Pour savoir si la machine est correctement réglée, on prélève au hasard un échantillon 1000 tiges dans lequel on dénombre 75 tiges défectueuses.
-------------
Dans le cas d'une loi binomiale de paramètres {n,p} l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence dans un échantillon de taille n est donné par  :
[p-1.96*√(p*(1-p)/n) ; p-1.96*√(p*(1-p)/n) ]
soit dans ce cas
[0.05-1.96*√(0.05*0.95/1000); 0.05+1.96*√(0.05*0.95/1000)] =[0.0365; 0.0635]
-------------

2  Quelle est la fréquence des tiges défectueuses dans l'échantillon ?
-------------
a fréquence des tiges défectueuses dans l'échantillon est de 75/1000=0.075
-------------
3  Le réglage de la machine doit-il être modifié ? Justifier.  -------------
La proportion de tiges défectueuses ne devant pas dépasser 5% soit 50 tiges défectueuses pour 1000 il est nécessaire de modifier le réglage de la machine.
-------------

Partie D  La direction, voulant faire des économies, demande que la proportion de tiges défectueuses soit diminuée. Après avoir modifié les réglages, on prélève un nouvel échantillon de taille 1000 dans lequel on dénombre 40 tiges défectueuses. 

1  Déterminer un intervalle de confiance, au niveau 95 %, de la proportion de tiges défectueuses après cette modification.
-------------
après cette modification l'intervalle de confiance, au niveau 95 %, de la proportion de tiges défectueuses est donné par
[p-1.96*√(p*(1-p)/n) ; p-1.96*√(p*(1-p)/n) ] et il vaut [0.04 - 1.96*,(0.4*0.96/1000); 0.04 + 1.96*,(0.04*0.96/1000)] soit [0.00159 ; 0.0521]
-------------

2  Peut-on considérer que la proportion de tiges défectueuses a baissé significativement ? Expliquer
-------------
On ne peut pas considérer que la proportion de tiges défectueuses a baissé significativement  puisque l'intervalle de confiance, au niveau 95 %, de la proportion de tiges défectueuses est en partie inclus dans l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des tiges défectueuses dans un échantillon de taille 1000. Si c'était le cas ces intervalles seraient disjoints et l'intervalle de confiance, au niveau 95 %, de la proportion de tiges défectueuses après  modification devrait être inférieur à l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des tiges défectueuses estimée à 5% dans un échantillon de taille 1000.
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