Fonction termiale S

[amrand45]

Pourriez vous m'expliquer s'il vous plait ?

[pzorba75]

Commence par appliquer e^x>=1+x à tous les termes de la suite u_n, somme que tu peux simplifier pour répondre à la question 1.

[amrand45]

Bonjour, D'accord merci donc ça donnerai ceci ?

 

Un=exp(0²/n)+..+exp(k²/n)+..+exp(n²/n)  ; somme n+1 termes
pour terme de la série il y a :
exp(k²/n)>=1 + k²/n
donc
Un>=(1+..+1)+(1²/n)+..+k²/n+..+n²/n>=1+..+1 car le terme 1²/n+..+k²/n+..+n²/n>=0
comme il y a n+1 termes égaux à 1 donc
Un>=n+1

lim(n+1)=+oo et Un>=n+1 donc limUn=+oo

[amrand45]

Pour le 2 )

 

Vn=(1/n)Un>=(1/n)[  (1+..+1)+(1²/n)+..+k²/n+..+n²/n]
           >=(1/n)[(1²/n)+..+k²/n+..+n²/n]  car 1+..+1=n+1>0
           >=(1/n²)(1²+..+k²+...+n²)

donc
Vn>=(1/n²)(n(n+1)(2n+1)/6
  >=((n+1)/n)((2n+1)/6)
comme (n+1)/n)=1+(1/n)>=1 donc Vn>=(2n+1)/6

lim(2n+1)/6)=+oo donc limVn=+oo car Vn>=(2n+1)/6

[amrand45]

pour le 3 )

a)

Je mets deja l'algo dans ma calculette en remplaçant n par 3

 

b)

Entrée :               Demander à l'utilisateur la valeur de n.
Initialisation :       Affecter à u la valeur 0 et à v la valeur 0;
Traitement :           Pour i variant de 0 à n.
                                      Affecter à u la valeur u+exp((i2)/n)

Fin de la boucle Pour
affecter à v la valeur u/n
Sortie : Afficher u.  
         afficher v

 

 

Pour le 4 ) 

a) limVn=+oo donc il existe un no tel que Vn>10^3 pour n>=n0
b)Vn>=(2n+1)/6 >=10^3 donc n>=(6*10^3 -1)/2 il suffit de prendre n1=E((6*10^3 -1)/2) où E()=partie entière

 

c) Entrée :               Demander à l'utilisateur la valeur de e.
                      
Initialisation :       Affecter à u la valeur 0 et à v la valeur 0 et à n la valeur 0;
                      
Traitement :           Tant que v < e faire
                            Affecter à n la valeur n+1
                            pour i allant de 0 à n faire
                            Affecter à u la valeur u+exp(i²/n)
                            fin de la boucle Pour
                            affecter à v la valeur u/n
                      Fin de la boucle tant que;
Sortie : Afficher n;  
        

 

 

Est-ce correcte ?

 

Pardon d'avance si j'en demande trop

 

 

[Barbidoux]

1---------------------

exp(0/n)>1

exp(1^2/n)>1+1^2/n

exp(2^2/n)>1+2^2/n

…………

exp(n^2/n)≥1+n^2/n

---------------------

un=exp(0/n)+exp(1^2/n)+………+exp(n^2/n)≥n+1+(1^2/+2^2/n…..n^2)/n=n+1+(n+1)*(2*n+1)/6≥ n+1

puisque un≥n+1 ==> un->∞ lorsque n-> ∞

2---------------------

Puisque 

un=exp(0/n)+exp(1^2/n)+………+exp(n^2/n)≥n+1+(1^2/+2^2/n…..n^2)/n

et que n>0 on en déduit que 

un≥(1^2/+2^2/n…..n^2)/n

et donc vn=un/n≥ (1^2/+2^2/n…..n^2)/n^2=(n+1)*(2*n+1)/(6*n) >(2*n+1)/6 

3---------------

pour n=3

u3=exp(0/3)+exp(1^2/3)+exp(2^/3)+exp(3^2/3)=26.27481

modification de l'algorithme

4.a------------------

On a démontré que vn>(n+1)*(2*n+1)/6 il suffit donc de prendre n tel que (n+1)*(2*n+1)/6>1000. L'équation du second degré (n+1)*(2*n+1)/6-1000 admet deux racines n=-55.52 et 54.02 et est du signe du coefficient de x^2 à l'extérieur de ses racines et il existe donc bien un naturel tel que vn>(n+1)*(2*n+1)/6>10^(3)

4.b------------------

On a démontré que vn≥(2*n+1)/6 si (2*n+1)/6>1000 ==> n≥3000 alors pour tout  n≥ 3000 on a bien vn>1000

4c------------------

J'utiliserais pour cette question l'algorithme précédent modifié comme suit