Les fonctions dérivées

[Alba99]

Bonsoir à tous,

Je suis nouveau ici , je viens de m'inscrire car en effet j'ai un petit soucis , je suis en classe de première et j'ai un DM de mathématiques , mais je n'ai pas très bien compris et je souhaiterai de l'aide si possible SVP.

J'ai 4 exercices à faire.

Exercice 1 : Taux d'accroissement et nombre dérivé 

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x² - 3x + 1 

1 ) Montrer que pour tout réel h , le taux d'accroissement de f entre a et a+h est : tf(h) = 2a + h - 3

2 ) En déduire le nombre dérivé de f en a

Exercice 2 : Une histoire de tangentes

On considère la fonction g définie sur R par g(x) = 2x(petit 3 au dessus du x) -12x² + 18x + 1

1 ) Déterminer la fonction dérivée de g sur R

2 ) Déterminer l'équation de la Tangente T2 à Cg au point d'abscisse 2

3) Déterminer , si ils existent , les abscisses des points de Cg qui admettent une tangente horizontale.

Indication : Il faut chercher les point a qui sont tels que f'(a) = 0

Exercice 3 :

On considère la fonction h définie sur ]-l'infinie ; 0] par h(x) = 2-x / 1-3x

1 ) Déterminer la fonction dérivée de h sur ]-l'infinie ; 0]

2 ) Déterminer l'équation de la tangente T0 à Ch au point d'abscisse 0.

Exercice 4 :

1 ) On considère la fonction j définie sur R par j(x) = 1 / 1 + 2x²

Déterminer la fonction dérivée de j sur R

2) On considère la fonction k définie sur [1 ; +l'infinie[ par k(x) = 2x √ x

Déterminer la fonction dérivée de k sur [1 ; +l'infinie[

 

Je tiens a préciser que je ne suis pas du genre à attendre les réponses et faire du copier coller , mais j'aimerai si possible avoir les réponses pour pouvoir m'entraîner à faire moi même et voir si j'obtiens la même chose car on aura aussi un contrôle la dessus , donc si quelqu'un peux m'aider ce serait top merci d'avance.

 

 

 

[Barbidoux]

Exercice 1 : Taux d'accroissement et nombre dérivé 

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x² - 3x + 1 

1 ) Montrer que pour tout réel h , le taux d'accroissement de f entre a et a+h est : tf(h) = 2a + h - 3

--------------

le taux d'accroissement de f entre a et a+h

(f(a+h)-f(a))/h=((a+h)^2-3*(a+h)-a^2-3*a)/h=(2*a*h+h^2-3*h)/h=2*a+h-3

--------------

2 ) En déduire le nombre dérivé de f en a

--------------

nb dérivé en a  = limite du taux d'accroissement de f(x) entre a et a+h lorsque h->0

f'(a)=2a-3

--------------

Exercice 2 : Une histoire de tangentes

On considère la fonction g définie sur R par g(x) = 2x(petit 3 au dessus du x) -12x² + 18x + 1

1 ) Déterminer la fonction dérivée de g sur R

--------------

f'(x)=-24*x+18

--------------

2 ) Déterminer l'équation de la Tangente T2 à Cg au point d'abscisse 2

--------------

expression de la tangente en a au graphe de f(x) lorsqu'elle existe y=f'(a)*(x-a)+f(a)

équation de la Tangente T2 à Cg au point d'abscisse 2

y=f'(2)*(x-2)+f(2)=-30*(x-2)-11=-30*x+49

--------------

3) Déterminer , si ils existent , les abscisses des points de Cg qui admettent une tangente horizontale.

--------------

f'(x)=0 ==> tangente horizontale

f'(x)=0 ==> -24*x+18=0 ==> x=3/4 

--------------

[Alba99]

Merci beaucoup pour la réponse , ça m'aide vraiment , je comprends un peu mieux comment ça marche maintenant !

Par contre pour l'exercice 3 et 4 , c'est le même fonctionnement ? Car les consignes me perturbent un peu , le tout c'est que je comprenne car en général j'arrive à retenir les formules en maths mais ce chapitre j'ai beaucoup de mal bizarrement.

 

[CitronVert]

Oui c'est la même chose. Il faut absolument que tu comprennes ce chapitre.

Pour calculer la dérivée :

•  Méthode 1 : Prendre un point x, calculer le taux d'accroissement pour tout h, et montrer qu'il admet une limite quand h tend vers 0, cette limite est la dérivée au point x. C'est la méthode qui marche à tous les coups mais c'est assez long. en pratique on te demandera rarement de calculer un taux d'accroissement, mais il faut garder à l'esprit que c'est la façon "mathématique" de le faire.
•  Méthode 2 : Utiliser les formules de dérivées usuelles. Par exemple, tu sais que le produit de deux fonctions dérivables u et v est dérivable de dérivée u' v + u v' . Tu sais également que la dérivée de la fonction x -> x² est x -> 2x . C'est la façon rapide de le faire, et c'est ce que tu devras utiliser en général.

La dérivée a une multitude d'utilités. En un point, elle représente la pente de la tangente, et permet donc de la tracer.

En général, on te demandera d'étudier son signe pour déterminer les variations de la fonction de base.

Si tu as encore des questions sur les exercices ou les dérivées en général, n'hésite pas.

[Alba99]

Merci beaucoup pour les précisions vraiment ça fait plaisir

Je comprends mieux maintenant , l'important dans ce chapitre et donc de connaître les formules et le reste c'est juste de l'application si j'ai bien compris.

Demain je vais essayer de faire le 3 et le 4 de mon côté , je vous mettrai ce que j'ai fais par écrit

Bonne soirée

[Alba99]

Salut à tous !

Encore une fois j'ai essayé de faire mes exos , mais je galère , est-ce que quelqu'un pourrait m'aider pour l'exo 3 et 4 mais en détaillant les calculs svp sans donner directement la réponse , car sans détail j'ai du mal à comprendre le pourquoi du comment , merci par avance et j'espère qu'avec les détails je comprendrai mieux

 

[CitronVert]

 Exercice 3 :

On considère la fonction h définie sur ]-l'infinie ; 0] par h(x) = 2-x / 1-3x

1 ) Déterminer la fonction dérivée de h sur ]-l'infinie ; 0]

On a quel que soit x dans ]-l'infinie ; 0] , h(x) = u(x) / v(x) avec u(x) = 2-x , v(x) = 1-3x

u et v sont dérivables et leur dérivée est facile à calculer

v ne s'annule pas sur ]-l'infinie ; 0] , on peut donc utiliser la formule (u/v)' = (u' v - u v')/v²

2 ) Déterminer l'équation de la tangente T0 à Ch au point d'abscisse 0.

La pente de la tangente à h en x = 0 est le nombre dérivé de h en 0. C'est donc f'(0). Tu as une formule pour calculer l'équation de la tangente en fonction de la dérivée.

[CitronVert]

Je vais détailler au maximum la démarche pour que tu comprennes :

1. Formules à connaître :

- Toutes les dérivées de fonctions usuelles : x, x² , ... xⁿ , mais aussi 1/x , sin(x) , e^x , etc. Tu dois connaître ces formules ou les avoir quelque part et pouvoir les trouver très rapidement.

- Toutes les formules du type si j'ai des fonctions u et v dérivables et que je connais leur dérivée, alors je connais la dérivée de u+v, u*v ,  u/v , uⁿ etc.

 

2. Calculer la dérivée d'une fonction :

On te propose la fonction h(x) = 2-x / 1-3x. On ne connait pas sa dérivée par coeur bien sûr, par contre on reconnaît 2-x et 1-3x qui sont faciles à dériver. Et c'est ça l'idée : séparer ta fonction en plusieurs morceaux simples u,v,w, ... que tu es capable de dériver individuellement, et ensuite utiliser les formules avec u,v pour dériver la fonction entière.

Par exemple si j'ai f(x) = sin(x)*cos(x) , je poserai u(x) = sin(x) , v(x) = cos(x)  et j'ai f = u*v . Donc je suis capable de dériver.

[Alba99]

Merci pour ces précisions !

Je me lance , vous me direz si c'est bon ou pas , on fait comme ça c'est mieux je penses

Ex 3 :

1 ) h(x) = 2-x / 1-3x

u = 2-x    v = 1-3x

u' = -1      v' = -1

(u/v') = u'v-uv'/v²

h'(x) = -1(1-3x)-(2-x)-1/(1-3x)²

2 ) La formule nécessaire est  y=f'(a)*(x-a)+f(a)

Ca donne ça pour ce cas précis 

y=h'(a)*(x-a)+h(a)

y=h'(0)*(x-0)+h(0)

Par contre j'ai pas compris comment faire le calcul pour obtenir la réponse complète.

Dites moi si c'est bon ? Si non pouquoi et pouvez vous complétez les éventuelles manques pour que je comprenne mes erreurs , merci par avance encore une fois

 

[CitronVert]

Dans cet exercice, le 1) est beaucoup plus important que le 2), révise le en priorité. A mon avis pour le 2) , la plupart des gens se contenteront de balancer la formule sans avoir aucune idée de ce qu'elle représente.

 

1) v = 1-3x , donc v' = -3 et non -1 . Attention à ne pas se tromper sur ça ! Sinon tu as compris la méthode, mais il faut aussi simplifier l'expression.

donc h'(x) = (3x-1 - -3(2-x)) / (1 - 3x) ²       (formule u'v - uv' / v²)

                = (3x-1 + 6 - 3x)) / (1 - 3x) ²       (on simplifie un minimum)

                = 5 / (1-3x)²

C'est l'expression de la fonction dérivée de h. Relis ensuite rapidement pour ne pas faire d'erreur de calcul. C'est une question ultra classique à savoir faire.

 

2)Ta formule est bonne, seulement il faut que tu comprennes ce qu'elle veut dire. Une équation de droite en 2D s'écrit y = ax + b . Beaucoup de lettres, mais en fait a et b sont des termes constants, ils représentent des nombres, contrairement à x qui représente le paramètre qui varie pour dessiner la courbe. Par exemple, y = 2x + 0.5 est une équation de droite. y = x² , y = x/y n'en sont pas.

On a donc y=h'(0)*(x-0)+h(0) . Oulalah, ça en fait des lettres ... mais tu peux facilement comprendre ce qui doit dégager avec ce que je t'ai écrit au-dessus.

y et x sont les "variables de la droite". Elles doivent apparaître dans le résultat final.

h et h' sont des fonctions, mais h(0) et h'(0) sont des valeurs, constantes, et que tu peux calculer. Pas besoin de laisser les lettres, puisque ce sont de bêtes nombres, comme 2 ou 3.14. On va calculer leur valeur, pour les remplacer dans l'expression.

La définition de h, c'est h(x) = 2-x / 1-3x pour tout x. Donc h(0) = 2-0 / 1-3*0 = 2. Voilà tout simplement ! h(0) = 2.

Idem pour h'. On a h'(x) = 5 / (1-3x)² pour tout x, dont h'(0) = 5/(1-3*0)² = 5.

Donc h(0) = 2 et h'(0) = 5.

x-0 se simplifie tout simplement en x. Ce qui nous donne au final, y = 5x + 2. C'est la solution. C'est quand même mieux que l'expression de départ non ?

Génial, j'ai résolu ton exercice. Mais je ne vais pas m'arrêter maintenant, parce je ne pense pas que tu saches vraiment ce que ça représente ce " y = 5x + 2 ". Et bien comme son nom l'indique, c'est l'équation de la droite tangente à la courbe. De la même façon qu'à la calculatrice, tu visualises les courbes de fonctions comme y = cos(x) , y = x²+1 ou autre, tu peux visualiser cette tangente.

Pour obtenir cette image, j'ai simplement demandé à la calculatrice de me dessiner les courbes des fonctions :

y1 = (2-x)/(1-3x)        <- la fonction h, en bleu

y2 = 5x + 2                <- notre superbe tangente, en rouge.

Voilà exactement ce que représente cette tangente ! C'est la droite qui touche la courbe en 0 et "va dans la même direction qu'elle".

[Barbidoux]

Il y a 11 heures, Alba99 a dit :

Je me lance , vous me direz si c'est bon ou pas , on fait comme ça c'est mieux je penses

Ex 3 :

1 ) h(x) = 2-x / 1-3x

u = 2-x    v = 1-3x

u' = -1      v' = -1

(u/v') = u'v-uv'/v²

h'(x) = -1(1-3x)-(2-x)-1/(1-3x)²

Dites moi si c'est bon ? Si non pouquoi et pouvez vous complétez les éventuelles manques pour que je comprenne mes erreurs , merci par avance encore une fois

 

Je n'ai pas traité l'exercice 3 car ton énoncé n'est pas correct. Lorsque l'on fait une faute d'orthographe dans un texte littéraire le mot reste compréhensible et la signification de la phrase reste en général la même. Mais en mathématiques il en est autrement une simple faute d'orthographe, un oubli un signe qui diffère et cela n'a plus du tout la même signification.

Lorsque tu écris  h(x) = 2-x / 1-3x que faut il comprendre ? Ce que tu as écrit et qui donne h(x)=2-4*x ou ce que tu voulais écrire et qui peut être h(x)=2-x/(1-3*x) ou encore h(x)=(2-x)/(1-3*x). Il en est de même pour la suite la dérivée (u/v)' n'est pas égale à u'v-uv'/v² comme tu l'écris mais à (u'v-uv')/v² ce qui change tout .... Alors si tu ne veux pas voir de gros ennuis tôt ou tard sois rigoureux et n'omet aucune parenthèses ....  sinon tout ce que tu écris sera mathématiquement incorrect et lorsque tu demandera à un logiciel de tracer le graphe de h(x) = 2-x / 1-3x (ce que tu as écrit) voilà ce qu'il tracera

si c'est le graphe de h(x) = 2-x / (1-3x) il tracera cela :

enfin si c'est la graphe de h(x) = (2-x) / (1-3x) tu obtiendra ce graphe :

tu vois la présence ou l'absence de parenthèses change tout.... et l'expression de la tangente en x=0 au graphe de h(x)=2-x/(1-3*x) est bien différente de celle en x=0 au graphe de h(x)=(2-x)/(1-3*x).

[Alba99]

@CitronVert Merci pour la correction

Par contre pour la 1 , tu as commencé à développer directement ? Car moi je ne trouve pas directement (3x-1 - -3(2-x)) / (1 - 3x) ²  ? même en remplaçant mon erreur de départ 

Pour la 2 , h(x) et h'(x) on remplace par de bêtes nombres choisis par nous même ? Ou on doit suivre une logique ?

Merci pour tes réponses !

[Alba99]

Voici une photo pour ne pas que je vous induise en erreur pour l'exo 3 et 4 ( ils sont notés 5 et 6 sur la feuille mais ce n'est qu'un détail ).

 

 

[Barbidoux]

5-------------------------

h(x)=(2-x)/(1-3*x)

de la forme uv^(-1) donc dérivée de la forme u'v^(-1)-uv'v^(-2)

h'(x)=-1/(1-3*x)-3*(1-3*x)/(1-3*x)^2=(-(1-3*x)-3*(1-3*x)/(1-3*x)^2=5/(1-3*x)^2>0 qq soit x donc fonction croissante sur son intervalle de définition ]-∞, 0[ 

--------

l'équation de la tangente au point d'abscisse a du graphe d'une fonction f lorsqu'elle existe a pour expression y=f'(a)*(x-a)+f(a)

donc dans mes conditions de l'exercice  y=h'(0)*(x-0)+f(0)=5*x+2

6-----------------------

j(x)=1/(1+2*x^2) définie sur R

j'(x)=-4*x/(1+2*x^2)^2 

----------

k(x)=2x√x=x^(3/2)

k'(x)=2*(3/2)*x^(3/2-1)=3*√x

[CitronVert]

Il y a 6 heures, Alba99 a dit :

Pour la 2 , h(x) et h'(x) on remplace par de bêtes nombres choisis par nous même ? Ou on doit suivre une logique ?

Ce n'est pas h(x) et h'(x) , c'est h(0) et h'(0) parce que tu cherches la tangente en 0 (x = 0, si tu préfères). Tu ne peux pas choisir ces nombres, ce sont les valeurs de la fonction. Si tu cherchais la tangente en 1, ce serait h(1) et h'(1). Tu es sûr de bien comprendre ce que représente une fonction ?

[Alba99]

Salut à tous ! J'ai essayer de relire toutes les réponses que vous m'avez donné à tête posé , et maintenant je comprends mieux par quoi il faut remplacer chaque lettre dans la formule , merci beaucoup pour votre aide

Par contre j'avais aussi ça à faire , pouvez vous me dire si ce que j'ai fais et bon et m'aider pour les deux dernières du tableau merci par avance

 

[pzorba75]

1) faux g'(0)=1

2) T: y=g'(0)(-0)+g(0)=1*(x-0)+1=x+1

3) correct

4) T1: y=g'(1)*(x-1)+g(1)=-2*(x-1)+0=-2x+2

[Alba99]

Salut, merci pour la correction

Pour le 1 tu as trouver 1/1 = 1 ou bien comment tu as fait car j'ai suivie la même logique que pour le 3 et pourtant j'ai faux

Pour le 2 et le 4 , peux tu me dire à quoi correspond chaque remplacement de lettre à partie du deuxième = pour que je comprenne

 

[CitronVert]

Pour le 1), c'est 1/1 = 1 . Ce n'est pas 1/-1, tu confonds les valeurs avec les écarts (c'est les écarts entre les valeurs qu'il faut utiliser pour calculer la pente)

Qu'est-ce qui te pose problème pour remplacer les lettres dans le 2) et le 4) ? La démarche est exactement la même que pour les exercices précédents.

 

 

[Alba99]

Ah c'est bon pour le 1 j'ai compris merci , pour le 2 et le 4 j'ai pas compris à quoi correspond le +1 et le +0 qui remplacent respectivement le g(0) et le g(1).

 

[Alba99]

Pour l'exo 2 avec le cours à compléter quelqu'un pourrai me dire si c'est bon ou pas et m'aider pour les deux dernières svp

[CitronVert]

Ne le prends pas mal, mais il y a de très grosses lacunes dans ta compréhension des variables. Il faut absolument que tu comprennes "ce que la formule veut dire" quand tu l'apprends/l'utilises. Tu ne peux pas simplement la recopier en espérant que ça coïncide par hasard avec les notations de l'énoncé.

1) Par exemple, tu as écris que l'équation de la tangente est F'(0)(x-0) + F(0) . OK, la formule est bonne, et tu as bien remplacé a par 0. Mais que représente F ? Quand on écrit une formule, il faut savoir ce que représentent les lettres. Par exemple ici, il y a une variable x, un point a où on prend la tangente, et une fonction F. L'essentiel dans cette formule, ce n'est pas que la fonction s'appelle F mais que c'est la fonction dont on veut calculer la tangente.

si tu as compris ce que représente F, essaie de faire les questions 2) 4) en développant au maximum la formule.

 

2) Pour le deuxième exercice, ta formule pour x^3 + 1/2 est complètement fausse ! Que représente v ici ? Pourquoi avoir appliqué cette formule ? Essaie de trouver d'abord la bonne pour celle là, on réfléchira à celles qui te manquent après.

[Alba99]

J'ai encore relis et en faite j'avais fait une erreur de compréhension lors de ma première révision , cette fois ci c'est rectifié et je comprends mieux ceci dit je n'arrives pas à comprendre par quoi est remplacé g(0) et g(1) dans la formule de l'équation de tangente , tu peux simplement me dire on prend quoi pour remplacer et après je saurai corriger mon erreur car la je n'arrive pas trop à voir , pour le reste j'ai compris.

Pour le tableau je me doutais qu'elle était fausse mais je voulais essayer , j'ai fais un mixage de deux forme car je trouvais que cette fonction ressemblait à deux formes , je n'arrive pas à trouver à quelle forme la fonction 3 , 5 et 6 ressemblent ... Pour les autres elles sont bonnes ? 

Merci d'avance

 

[CitronVert]

Je te redonne le théorème :

Soit I un intervalle.

Soit a un réel dans I.

Soit une fonction F dérivable en a et définie sur I.

Alors l'équation de la tangente à la courbe de F au point a est :

y = F'(a)(x-0) + F(a)

Peut tu me dire maintenant dans cet exercice, quelle est la fonction F ? (et donc les valeurs de F(0),F(1),F'(0),F'(1) )

 

Pour l'exo 2 fonction 3) le problème n'est pas "seulement" qu'elle est fausse, mais que la réponse que tu as mise ne veut carrément rien dire ! " v " ici n'est définie nulle part. Il faut dire "Posons v = quelque chose" .

Par exemple, posons u = x³ et v = 1/2 , alors la dérivée de f est u' + v'.

La dérivée de u est 3x² , tu l'as trouvée. Maintenant quelle est la dérivée de v ?