TVI appliqué sur f(x)=Aire

[Hafrit]

Alors voilà, j'ai un petit soucis dans mon exo' de math, voici l'énoncé :
"Dans un repère orthonormé OIJ, on considère le cercle C d'équation x²+y²=1 et les points I(1;0) et I'(-1;0). Pa tout point H d'affixe x du segment [II'], on trace la perpendiculaire à la droite (II') passant par H et coupant le cercle C en A et A'.
Combien de triangle(s) IAA' d'aire 1 existe(nt)-il(s) selon les valeurs de x ?"
Avec l'aide d'un camarade, on a conjecturé qu'il y en avait 2 (grâce à géogébra) : quand H a pour coordonnées (0;0) et (-0,84;0).
On a ensuite mené le raisonnement suivant :
" On cherche le nombre de triangles IAA' dont l'aire est égale à 1.
Définissons la fonction f(x) = AireIAA'. (pour utiliser le TVI)
Soit OH = x. La hauteur du triangle IAA' est HI=1-x. Soit AA' la base B du triangle IAA' noté B. AH vaut donc B/2.
Le triangle HOA est rectangle en H donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :
OA²=OH²+AH²
<=> AH²=OA²-OH²
<=> AH²=1²-x² (A étant sur le cercle de centre O, OA est le rayon du cercle qui vaut 1)
<=> AH= √(1-x²)
On a donc f(x)=A=h*B/2=HI*2AH/2=HI*AH=(1-x)√(1-x²)"
La fonction est juste : quand j'utilise géogébra pour faire varier les valeurs de x du point H, l'aire vaut exactement f(x)=y. Et c'est là où survient mes problèmes :
Au début du raisonnement j'ai posé x=OH, la longueur d'un segment (qui est donc positive), pourquoi je me retrouve avec une fonction où x est devenu la coordonné x de H ? la hauteur HI=1-x mais seulement quand H ∈ OI, lorsque H ∈ OI' ça devrait être HI=1+x donc logiquement f(x)=(1+x)√(1-x²) sur [-1;0] et f(x)=(1-x)√(1-x²) sur [0;1] mais c'est faux, pourquoi ?

[Barbidoux]

Le programme de CE1 a bien changé.....

[Hafrit]

Erreur dans la modification de profil, je rectifierai ça plus tard
SInon, je ne peux pas être éclairé à propos de mes 2 questions svp ?

[pzorba75]

Si tu n'as as le temps de mettre ton profil à jour, personne ne pourra t'aider. Sans effort, pas d'aide!

[Hafrit]

Je pensais pas que vous étiez aussi pointilleux sur les informations des membres du forum (delà à ne pas apporter une aide pour une erreur de saisie, je trouve ça un peu trop strict (ne prenez pas cette remarque comme un reproche, après tout c'est votre forum, mais plutôt comme un constat)).
Bref, mon profil a été mis à jour, est-ce que je peux enfin prétendre à avoir une quelconque aide de votre part s'il vous plaît ?

[Barbidoux]

Je pensais pas que vous étiez aussi pointilleux sur les informations des membres du forum (delà à ne pas apporter une aide pour une erreur de saisie, je trouve ça un peu trop strict (ne prenez pas cette remarque comme un reproche, après tout c'est votre forum, mais plutôt comme un constat)).
Bref, mon profil a été mis à jour, est-ce que je peux enfin prétendre à avoir une quelconque aide de votre part s'il vous plaît ?

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Si le niveau scolaire des membres est demandé de manière impérative ce n'est pas une question de curiosité mais c'est simplement pour être en mesure de lui apporter une aide compréhensible à son niveau car il existe des manières plus ou moins sophistiquées de résoudre problème de mathématiques et il ne sert à rien de donner à un élève une solution d'un problème qui est incompréhensible à son niveau.C'est du temps perdu pour lui et pour nous....

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OA²=OH²+AH²

<=> AH²=OA²-OH²

<=> AH²=1²-x² (A étant sur le cercle de centre O, OA est le rayon du cercle qui vaut 1)

<=> AH= √(1-x²)

On a donc f(x)=A=h*B/2=HI*2AH/2=HI*AH=(1-x)√(1-x²)"

La fonction est juste : quand j'utilise géogébra pour faire varier les valeurs de x du point H, l'aire vaut exactement f(x)=y. Et c'est là où survient mes problèmes :

Au début du raisonnement j'ai posé x=OH, la longueur d'un segment (qui est donc positive), pourquoi je me retrouve avec une fonction où x est devenu la coordonné x de H ? la hauteur HI=1-x mais seulement quand H ∈ OI, lorsque H ∈ OI' ça devrait être HI=1+x

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Non tu te trompes c'est toujours 1-x, x est une valeur algébrique et HI est bien égal à 1-x quelque soit x appartenant à [-1,1].

Pour déterminer analytiquement les nombre de solutions il faut résoudre 1=(x-1)*√(x-x^2) ce que l'on fait en élevant les deux termes au carré ce qui conduit à : x^4-2*x^3+2*x=0 ==> x*(x^3-2*x^2+2)=0.

En utilisant la Méthode de Cardan pour la résolution de x^3-2*x^2+2=0 on démontre que cette équation admet dune seule racine réelle qui vaut : (2-4/(19-3√33)^(1/3)-(19-3√33)^(1/3))/3≈ 0.839. Il existe donc deux positions de x pour lesquelles aire IAA'=1 qui sont x=0 et x= (2-4/(19-3√33)^(1/3)-(19-3√33)^(1/3))/3