Exercice De Maths (Exponentielle) Terminale S

[LordHorus]

Bonjour, j'ai un exercice à faire et je bloque sur quelques questions. Pourriez-vous m'accorder un peu d'aide pour les résoudre ?

Partie A : Postions relatives de C_f et D

On considère la fonction f définie sur [0; +infini[ par f(x) = 5e^-x - 3e^-2x + x - 3

On note C_f la représentation graphique de la fonction f et D la droite d'équation y = x - 3 dans un repère orthogonal du plan.

Soit g la fonction définie sur l'intervalle [0; +infini[ par g(x) = f(x) - (x - 3).

1) Justifier que pour tout réel x de l'intervalle [0; +infini[, g(x) > 0.

2) La courbe C_f et la droite D ont-elles un point commun ? Justifier.

Partie B : Etude de la fonction g

On note M le point d'abscisse x de la courbe C_f, N le point d'abscisse x de la droite D et on s'intéresse à l'évolution de la distance MN.

1) Justifier que pour tout x de l'intervalle [0; +infini[, la distance MN est égale à g(x).

2) On note g' la fonction dérivée de la fonction g sur l'intervalle [0; +infini[. Pour tout x de l'intervalle [0; +infini[, calculer g'(x).

3) Soit h(x) = 6e^-x - 5, on note alpha (a) le réel qui vérifie h(a) = 0.

Déterminer une valeur de "a" à 10^-2 près sur la calculatrice.

4) Montrer que la fonction g possède un maximum sur l'intervalle [0; +infini[ que l'on déterminera.

En donner une interprétation graphique.

[pzorba75]

Justifier que g(x)>0 pour x in(0;+infini[

Il faut dire, l'exponentielle est tjrs positive, donc 5e^-x-3e^-2x=e^-x(5-3e^-x) et, pour x>0 e^-x<1 donc e^-x>0 et 5-3e^-x>0. Ainsi tu démontres que g(x)>0

[LordHorus]

Merci pour cette rapide réponse, maintenant j'ai compris ^^ (En fait e^-x < 1 < = > -x < ln (1) < = > -x < 0)

[LordHorus]

Du coup pour la question :

2) La courbe C_f et la droite D ont-elles un point commun ? Justifier.

[LordHorus]

J'ai essayé ça :

5e^-x - 3e^-2x + x - 3 = x - 3

5e^-x - 3e^-2x = 0

5e^-x = 3e^-2x

5 = 3e^-2x / e^-x

5 = (3 / e^-x) * e^-2x / e^-x

5 = (3 / e^-x) * e^-2x+x

5 = (3 / e^-x) * e^-x

5 = 3/e^-x-x

5 = 3/e⁰

5 = 3/1

5 = 3

Donc il y a une erreur quelque part...

[Barbidoux]

Si y et f(x) se coupent alors les abscisses de points d'intersection des deux graphes sont solution de f(x)-(x-3)=g(x)=0. Or on a démontré que g(x)>0 sur [0, ∞[ . Conclusion les graphes y et f(x)ne se coupent pas.

[LordHorus]

Ah oui merci ! A chaque fois je m'attends de faire des calculs car on est en mathématiques mais il y a aussi de l'interprétation ^^

[LordHorus]

Il ne me reste que deux questions du coup :

On note M le point d'abscisse x de la courbe C_f, N le point d'abscisse x de la droite D et on s'intéresse à l'évolution de la distance MN.

1) Justifier que pour tout x de l'intervalle [0; +infini[, la distance MN est égale à g(x).

4) Montrer que la fonction g possède un maximum sur l'intervalle [0; +infini[ que l'on déterminera.

En donner une interprétation graphique.

[pzorba75]

Tu dois démontrer que la distance entre C_f et D tend vers 0, ce qui n'est pas bien compliqué.

[LordHorus]

Ah, du coup comme g(x) = 5e^-x - 3e^-2x = e^-x(5 - 3e^-x)

e^-x tend vers 0 et -3e^-x également (5 étant négligeable).

Donc comme lim (e^-x) = 0 et lim (-3e^-x) = 0, alors par multiplication, lim g(x) = 0 ?

x->+infini x->+infini x->+infini

[LordHorus]

J'ai correct ?

[pzorba75]

Incorrect "5 étant négligeable"

a limite est 0*(5-0)=0, 5 n'est pas négligeable, il se trouve multiplié par 0, ce qui n'est pas la même chose!

[LordHorus]

Oui mais dans le cas d'infinis, on peut dire qu'il est négligeable, j'ai oublié de préciser, merci ^^

[pzorba75]

C'est la réponse à la question posée qui intéresse pas l'histoire des mathématiques.