Dm Sur Logarithme

[samory]

bonjours, certaine question de cet exercice me pose problème pourriez vous m'aider? merci

Partie I

1) Montrer que pour tout u > −1, ln(1+u ) ≤u. (*) (on pourra étudier une fonction)

2)Montrer que si x > −1 alors -x/(1+x) > -1

3) En appliquant l’inégalité (*) à u= -x/(1+x), montrer que pour tout x>-1, ln(1+x ) x/(x+1) . (**)

4) Déduire des inégalités (*) et (**) que pour tout entier naturel k non nul, 1/(k+1) ln(k+1) - ln(k) 1 /k

Partie II

Soit (u_n ) définie pour tout entier naturel n non nul par : u_n = 1/(n+1) + 1/(n+2) +... + 1/2n= Σ 1/(1+k)

1) En appliquant l’inégalité de la partie 1 à k = n+1, ..., n +(n −1), 2n , montrer que :

u_n + 1/(2n+1) - 1/(n+1) ≤ ln(2n+1) - ln(n+1) ≤ u_n

2) En déduire que pour tout entier naturel n : ln((2n+1) / (n+1))≤ u_n ≤ ln( (2n+1)/(n+1)) + n/((n+1)(2n+1))

3) En déduire lim u_n .

^n→+∞

[pzorba75]

Je te donne la partie I1

Soit pour tout x dans ]-1:+infini[

f(x)=ln(1+x)-x

f'(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x)

Avec un tableau de signes tu as f'(x) >0 sur ]-1;0] et f'(x)<0 sur [0;+infini[

donc f croissante sur ]-1:0], f(0)=0 et décroissante sur [0;+\infini[

donc l(1+x)-x<=0 donc

pour tout u de ]-1;+infini[, ln(1+u)<u

CQFD

I2

g(x)=-x/(1+x)

g'(x)=6/(1+x)^2 donc g'(x)<0 donc g décroissante

lim {x_>+infty}g(x)=-1 donc -x/(1+x)>-1

CQFD.

La suite se traite un peu de la même façon, mais je n'ai plus le temps maintenant.

À toi de travailler, à défaut de montrer ce que tu as fait.

[samory]

merci mais en fait ce sont la question 4 de la partie 1 et les questions 1 et 2 de la partie 2. pourriez vous m'aider je n'y arrive toujours pas. merci

[Barbidoux]

3-------------

on pose u=-x/(x+1)

u-ln(u+1)≥0 ==> -x/(x+1)-ln(-x/(x+1)+1)≥0 ==> -ln(1/(x+1))≥x/(x+1) ==> ln(x+1)≥x/(x+1)

4-------------

ln(u+1) ≤ u

on pose u=1/k ==> ln(1/k+1) ≤ 1/k ==> ln((1+k)/k) ≤ 1/k ==> ln(1+k) - ln(k)≤ 1/k

---------

x/(x+1)≤ ln(x+1)

on pose x=1/k ==> (1/k)/(1/k+1)≤ ln(1/k+1) ==>1/(k+1) ≤ ln((k+1)/k) ==>1/(k+1) ≤ ln(k+1)-ln(k)

et finalement :

1/(k+1) ≤ ln(k+1)-ln(k) ≤ 1/k

-------------------

Partie 2

1-------------

un= 1/(n+1)+1/(n+2)+……….+1/(2*n)

---------

si l'on remplace k par n+1 puis n+1, n+2,…..2*n dans la relation :

1/(k+1) ≤ ln(k+1)-ln(k) ≤ 1/k

on obtient :

1/(n+2) ≤ ln(n+2)-ln(n+1) ≤ 1/(n+1)

1/(n+3) ≤ ln(n+3)-ln(n+2) ≤ 1/(n+2)

………….

1/(2*n+1) ≤ ln(2*n+1)-ln(2*n) ≤ 1/(2*n)

en faisant la somme de ces expressions membre à membre on obtient

1/(n+2) +1/(n+3)+…………. 1/(2*n+1) ≤ln(2*n+1)-ln(n+1)≤ 1/(n+1) +1/(n+2)+…………. 1/(2*n)

un+1/(2*n+1)-1/(n+1)≤ln(2*n+1)-ln(n+1)≤ un

2-------------

un-n/((2*n+1)*(n+1))≤ln((2*n+1)/(n+1))≤ un

dont on déduit :

ln((2*n+1)/(n+1))≤ un≤ln((2*n+1)/(n+1))+n/((2*n+1)*(n+1))

3-------------

Lorsque n->∞ alors :

lim n/((2*n+1)*(n+1))=lim n/(2*n^2)->0

lim ln((2*n+1)/(n+1)) =lim ln(2*n/n) =ln(2) et un -> ln(2)

[samory]

merci