Suites Ts Besoin D'aide Svp

[emilie4]

Bonjour, voilà j'ai un exercice qui se divise en trois parties et dont j'ai déjà fait les deux premières (et je sais qu'elles sont justes elles ont été vérifiées donc je ne les postent pas) ^^ mais dites moi si elles sont nécessaires a la résolution de cette dernière partie dans ce cas je les posteraient bien sur , donc je sollicite votre aide s'il vous plait pour la troisième partie sur laquelle je bloque.

On admet que la suite (Un) est croissante.

1.Justifier l'existence d'un rang n0 à partir duquel : In2-0,01<Un<In2.

2.On cherche le plus entier naturel n0 tel que pour tout n>n0 , In2-0,01<Un<In2.

a)Pourquoi suffit il de cherche le plus petit entier n tel que, In2-0,01<Un<In2 ?

b)On a implémenté l'algorithme suivant. Compléter les deux instructions incomplètes : (1) la condition d'arrêt de la boucle "tant que"

(2) la formule permettant de définir la somme correspondant à (Un).

Variables

N est du type nombre

U est du type nombre

I est du type nombre

Début algorithme

N prend la valeur 1

U prend la valeur 0,5

Tant que ________Faire (1)

Début tant que

N prend la valeur N+1

U prend la valeur 0

Pour I allant de 1 A N

Début pour

U prend la valeur ________(2)

Fin pour

Fin tant que

Afficher N

Afficher U

Fin algorithme

Voilà , merci a tous ceux qui m'aideront.

[pzorba75]

Pour répondre aux questions de cet exercice, il faut le sujet complet.

Et les réponses que tu as données pour faciliter le travail de celui qui aide, au moins aussi peu courageux que celui qui demande de l'aide.

[Barbidoux]

[emilie4]

Merci Barbidoux , donc pour le sujet en entier le voici :

Partie 1

1.Montrer que pour tout u>-1 ,In(1+u)<u.(*) (on pourra étudier une fonction)

2.Montrer que si x>-1 alors -x/1+x>-1.

3.En appliquant l'inégalité (*) à u=-x/1+x , montrer que pour tout x>-1 , In(1+x)>x/x+1. (**).

4.Déduire des inégalités (*) et (**) que pour tout entier naturel k non nul , 1/k+1<In(k+1)-In(k)<1/k.

Partie 2

Soit (Un) définie pour tout entier naturel n non nul par : Un=1/n+1 +1/n+2 + ...+1/2n = (là il y a une sorte de grand E grec peut être avec n au dessus et k=1 en dessous , mais je ne sais pas comment le faire sur l'ordi) 1/n+k.

1.En appliquant l'inégalité de la partie 1 à k =n+1 ,...,n+(n-1) ,2n, montrer que : Un+1/2n+1 - 1/n+1<In(2n+1)-In(n+1)<Un.

2.En déduire que pour tout entier naturel n : In(2n+1/n+1)<Un<In(2n+1/n+1) + n/(n+1)(2n+1).

3.En déduire lim Un.

n->+oo

Voilà ça c'est pour l'énoncé, pour mes réponses je reviendrai les mettre plus tard ,en espérant que ce que je viens de poster aidera un peu.

Merci

[emilie4]

Donc voici pour mes réponses :

Partie 1

1. f(x)=In(1+)-x

f'(x)=-x/(1+x)

f(x) prend le signe de x. f est décroissante si x appartient a ]0;+oo[ et f est croissante si x appartient a ]-1;0]. f admet un minimum 0 , f(x)<f(0).

f(x)<0.

Donc In(1+x)<x.

In(1+u)<u.

2.0>-1

-x>-1-x

-x>-(1+x)

Donc si x>-1 alors 1+x>0 et -x/1+x>-1.

3.On pose u = -x/(1+x)

In (1-x/(1+x))<-x/(1+x)

In (1/(1+x))<-x/(1+x)

- In(1+x)<-x/(1+x)

Donc In(1+x)>x/(1+x).

4.u/(1+u)<In(1+u)<u

k appartient a N. Donc 1/k>-1. On pose u=1/k.

(1/k)/(1+1/k)<In(1+1/k)<1/k

1/k+1<In((k+1)/k)<1/k

On en déduit que 1/k+1<In(k+1)-In(k)<1/k.

Partie 2.

1.Précedemment, on a vu que la relation 1/(1+k)<In(k+1)-In(k)<1/k , était valable pour toute valeur de k appartenant a n.

On pose k=n+1.

1/(n+2)<In(n+2)-In(n+1)<1/(n+1).

Puis k=n+2

1/(n+3)<In(n+3)-In(n+2)<1/(n+2)

Ainsi de suite jusqu'à k=2n+1 et on obtient :1/(n+2) + 1/(n+3) + ...+ 1/(2n+1)<In(2n+1)-In(n+1)<1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3) +... + 1/(2n).

Donc : Un + 1/2n+1 - 1/n+1<In(2n+1)-In(n+1)<Un.

2.Avec : Un-n/(n+1)(2n+1)<In(2n+1/n+1)<Un.

On a :Un<In(2n+1/n+1) + n/(n+1)(2n+1)

In(2n+1/n+1)<Un.

Donc on en déduit :In(2n+1/n+1)<Un<In(2n+1/n+1) + n/(n+1)(2n+1).

3.Quand n->+oo

Alors In(2n+1/n+1)->In(2)

Et In(2n+1/n+1) + n/(n+1)(2n+1)->In(2)

Selon le théorème des gendarmes Un ->In(2).

Voilà mon travail pour les deux premières parties.

[diodon]

bonjour, est-ce bon ce que tu as fais ? 

[pzorba75]

bonjour, est-ce bon ce que tu as fait ?  À vérifier.