Fonctions Exponentielles Ts

[emilie4]

Bonjour , j'ai un exercice a faire mais je bloque totalement , donc je sollicite votre aide s'il vous plait , voici l'exercice :

On suppose connus les résultats liés a la dérivabilité de v définie par v(x)= u (ax+b) ou a est un réel non nul , b un réel et u une fonction dérivable ainsi que les résultats suivants relatifs a la fonction exponentielle.

a)La fonction exp est dérivable sur R et vérifie exp'=exp.

b)exp(0)=1.

1.Montrer que pour tout réel x ,exp(x)*exp(-x) =1.

2.Montrer que pour tout réels a et x , exp(a+x)=exp(a)+exp(x).

On pourra considérer la fonction f définie sur R par : f(x)=exp(a+x)*exp(-x).

3.On considère les fonctions notées ch et sh définies pour tout réel x par :

sh x=1/2 (exp(x)-exp(-x)) et ch x=1/2 (exp(x)+exp(-x)).

a)Montrer que les fonctions sh et ch sont dérivables et déterminer leurs fonctions dérivées.

b)Montrer que pour tout réel x, ch^2 x- sh^2 x=1.

c)Montrer que pour tout a,b de R , ch (a+b)= ch a ch b+ sh a sh b.

Voilà , j'espère que c'est assez clair , je remercie tous ceux qui m'aideront.

[pzorba75]

Pour te mettre en route et proposer tes réponses, voici la question 1:

exp(x)*exp(-x)=exp(x-x)=exp(0)=1

[emilie4]

D'accord merci ,pour la question 2 , je me demandais si c'est e^a+x=e^a*e^x la bonne formule , sachant que exp'=exp et exp(0)=1 et exp(x)*exp(-x)=1.

Ai-je raison ?

[emilie4]

Et j'oubliais donc pour la question 1 j'ai mis :exp(x)*exp(-x)

on a e(x)*e(-x)-e(-x)*e(x)=0

la fonction est constante en particulier exp(0)*exp(-0)=1*1=1

Est ce que ma rédaction est bonne ?

[Boltzmann_Solver]

Bonjour Emilie,

Pour la question 1), tu dois utiliser la méthode de construction de la fonction exp comme tu sembles le faire (mais bizarrement expliqué).

Contrairement à ce qu'à dit Zorba (que je salue au passage), tu ne sais pas dans cet exo que exp(a)*exp(b) = exp(a+b). Donc tu ne peux pas l'utiliser.

Par contre, tu sais que exp est dérivable. Donc, dérivons . Soit phi(x) = exp(x)*exp(-x)

Pour tout x de R,phi'(x) = (exp(x))'*exp(-x) + exp(x)*(exp(-x))' = exp(x)*exp(-x) - exp(x)*exp(-x) = 0.

Comme pour tout x de R, phi'(x) = 0 ==> phi(x) = Cste. Or, phi(0) = exp(0)*exp(0) = 1*1 ==> phi(x) = 1.

En conclusion, pour tout x de R, exp(x)*exp(-1) = 1. CQFD.

[emilie4]

Bonjour BS,

D'accord , je vais recopier ça proprement , (il est vrai qu'avec les cours par correspondance on a tendance a interpréter les cours comme on veut) et merci :-)

Sinon je me demande ce qu'est phi et phi ' ? pourriez vous m'expliquer s'il vous plait

Et pour la question 2 il y a bien une erreur dans l'énoncé , je m'en excuse je ne l'ai su qu'après avoir posté le sujet , même si j'aurai du m'en apercevoir avant.

[Boltzmann_Solver]

Bonjour Emilie,

phi, c'est juste un nom de fonction comme j'aurai pu l'appeler f. Mais il est courant d'appeler les fonctions intermédiaires phi. Et phi' est la fonction dérivée de phi.

En effet, c'est un produit et non une addition.

Pour faire le 2), c'est comme le 1). On verra ainsi si tu as compris ma correction.

PS : Il y a une coquille de la conclusion,

En conclusion, pour tout x de R, exp(x)*exp(-x) = 1. CQFD.

[emilie4]

D'accord , donc concrètement sur ma copie je peux marquer phi ou pas ? (je pense que je suis embrouillé car dans mon cours je n'ai pas cela ,il marque toujours la fonction f)

Pour la question 2 , j'ai fait cela mais sans conviction :

Le réel x étant fixé ,on définit sur R la fonction f en posant f(x)=exp(a+x)/exp(x).

La fonction f est dérivable sur R et on obtient : f'(x)=1*exp'(a+x)/exp(x) =exp(a+x)/exp(x) =f(x)

(x est fixé et exp'=exp)

Comme f(0) =exp(0+x)/exp(x)=1 , la fonction f est donc exponentielle ,car elle vérifie les conditions f'=f et f(0)=1.

On en déduit que pour tout réel x :exp(x)=exp(a+x)/exp(x)

d'où exp(a+x)=exp(a)*exp(x).

Je ne suis pas sur du tout de ce que j'ai fait , j'ai regarder dans mon cours et pris exemple sur un exercice qui nous est donné mais ou c'est exp(a+b) et non exp(a+x) comme dans ma question.

Merci pour votre aide.

[Boltzmann_Solver]

D'accord , donc concrètement sur ma copie je peux marquer phi ou pas ? (je pense que je suis embrouillé car dans mon cours je n'ai pas cela ,il marque toujours la fonction f)

Pour la question 2 , j'ai fait cela mais sans conviction :

Le réel x étant fixé ,on définit sur R la fonction f en posant f(x)=exp(a+x)/exp(x). Illogique ! Tu dis que x est fixé et ensuite, tu dis que x est défini sur R. Ensuite garde f(x) sous la forme d'un produit, c'est plus facile à dériver.

La fonction f est dérivable sur R et on obtient : f'(x)=1*exp'(a+x)/exp(x) =exp(a+x)/exp(x) =f(x) Calcul de dérivé faux.

(x est fixé et exp'=exp)

Comme f(0) =exp(0+x)/exp(x)=1 , la fonction f est donc exponentielle ,car elle vérifie les conditions f'=f et f(0)=1.

On en déduit que pour tout réel x :exp(x)=exp(a+x)/exp(x)

d'où exp(a+x)=exp(a)*exp(x).

Je ne suis pas sur du tout de ce que j'ai fait , j'ai regarder dans mon cours et pris exemple sur un exercice qui nous est donné mais ou c'est exp(a+b) et non exp(a+x) comme dans ma question.

Merci pour votre aide.

[emilie4]

Bonjour ,

pardon j'ai des lacunes a ce niveau là , j'ai essayé de refaire quelque chose de propre,

vous m'avez dit que pour la seconde question il fallait faire comme pour la première alors voici ce que j'ai fais :

Soit f(x)=exp(a+x)*exp(-x).

f'(x)=exp(a+x)'*exp(-x)+exp(a+x)*exp(-x)'=exp(a+x)*exp(-x)-exp(a+x)+exp(-x).

C'est très honnêtement la dernière chose que j'ai a proposer après je suis totalement bloquée :-/

[Boltzmann_Solver]

Bonjour ,

pardon j'ai des lacunes a ce niveau là , j'ai essayé de refaire quelque chose de propre,

vous m'avez dit que pour la seconde question il fallait faire comme pour la première alors voici ce que j'ai fais :

Soit f(x)=exp(a+x)*exp(-x).

f'(x)=exp(a+x)'*exp(-x)+exp(a+x)*exp(-x)'=exp(a+x)*exp(-x)-exp(a+x)+exp(-x).

C'est très honnêtement la dernière chose que j'ai a proposer après je suis totalement bloquée :-/

[emilie4]

L'erreur c'est que je n'ai pas mis =0 non ?

[Boltzmann_Solver]

L'erreur c'est que je n'ai pas mis =0 non ?

[emilie4]

Et bien c'est par exemple pour f sa dérivée c'est f'

[Boltzmann_Solver]

Et bien c'est par exemple pour f sa dérivée c'est f'

[emilie4]

Pour tout réels a et b :exp(a+b)=exp(a)*exp(b) et exp'(0)=1. c'est ça ?

Je suis désolé je m'embrouille avec toutes les propriétés que j'ai dans mon cours.

[Boltzmann_Solver]

Pour tout réels a et b :exp(a+b)=exp(a)*exp(b) et exp'(0)=1. c'est ça ?

Je suis désolé je m'embrouille avec toutes les propriétés que j'ai dans mon cours.

[emilie4]

Heu c'est f'(x)=u'(x) v(x)+v'(x) u(x) ?

[Boltzmann_Solver]

Heu c'est f'(x)=u'(x) v(x)+v'(x) u(x) ?

[emilie4]

Ah oui c'est que j'aurais du mettre f'(x)=exp(a+x)'*exp(-x)+exp(a+x)'*exp(-x)=exp(a+x)*exp(-x)-exp(a+x)+exp(-x)=0.

[Boltzmann_Solver]

Ah oui c'est que j'aurais du mettre f'(x)=exp(a+x)'*exp(-x)+exp(a+x)'*exp(-x)=exp(a+x)*exp(-x)-exp(a+x)+exp(-x)=0.

[emilie4]

f'(x)=exp(a+x)'*exp(-x)+exp(a+x)*exp(-x)=exp(a+x)'*exp(-x)-exp(a+x)*exp(-x)=0.

[Boltzmann_Solver]

f'(x)=exp(a+x)'*exp(-x)+exp(a+x)*exp(-x)=exp(a+x)'*exp(-x)-exp(a+x)*exp(-x)=0.

[emilie4]

Je ne vois vraiment pas mon erreur :-/

Je ne peux pas rester , je reviendrai dès que mon emploi du temps me le permettra , je vous remercie du temps que vous prenez pour m'aider (et pardon si je ne comprend pas tout instantanément).

Merci ,Bonne soirée.

[Boltzmann_Solver]

Je t'en prie. Tant que tu essayes, tu combleras mes attentes.

A plus tard^^.