flavien23 Posté(e) le 19 septembre 2013 Signaler Posté(e) le 19 septembre 2013 Boujour je reposte cet exercice avec lequel j'ai quelques difficultés.. pourriez vous m'aider? surtout les questions 3 a) et 4 c) ma calculatrice n'arrive pas a faire fonctionner l'algorithme. j'en ai déduit qu'il n'est pas correcte mais je n'arrive pas à trouver l'erreur. je mets en pièce jointe ce que j'ai fait merci PARTIE A On prendra comme prérequis lim n =+∞, n→+∞ les règles opératoires sur les limites et les théorèmes decomparaisons à l’infini. On rappelle l’inégalité de Bernoulli : pour tout x > 0 et tout n de N, (1+x )n ≥1+nx . 1) À l’aide de l’inégalité de Bernoulli, montrer que: lim 2n =+∞ n→+∞ 2) En déduire que lim 2(2^n ) =+∞ n→+∞ Partie B Soit (un ) la suite définie par son premier terme u0 et par la relation de récurrence : un +1 =f (un ) où f est définie sur R par : f (x )= x −x² . 1)Dresser le tableau de variations de f sur R. 2) Déterminer le sens de variation de la suite (un ). 3) Cas : u0 = −2. a) Montrer, par récurrence que pour tout n de N,un ≤−2( 2^n) . (*) b) En déduire lim un . n →+∞ c) À l’aide de l’inégalité (*), trouver un rang n1 tel que pour tout n ≥ n1, un ≤ − 10 10 . d) Dans cette question, toute trace de recherche même non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation. À l’aide d’un algorithme que l’on détaillera sur la copie et qu’on implémentera sur la calculatrice, déterminer le plus petit entier n2 tel que pour tout n ≥ n2, un ≤ − 1010 . 4) Cas : u0 = 0,5. a) Montrer que pour tout n de N, 0 ≤un ≤ 0,5. b) En déduire que (un ) converge. c) Montrer que pour tout n de N, un ≤1/n . En déduire lim un . n →+∞
E-Bahut pzorba75 Posté(e) le 19 septembre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 19 septembre 2013 Tu as déjà posté pour cet exercice en donnant tes réponses. Le forum n'est pas une machine qui fait tes devoirs, tu peux obtenir la réponse ou attendre un petit moment des réponses qui ne viendront pas. Ce qui te laisse du temps pour travailler.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 19 septembre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 19 septembre 2013 Evite de poster deux fois le même sujet dans deux fils différents, cela ne facilite pas l'aide.... 3a---------------- u0=-2 ≤-2^(2^0)=2 u1=-2-(-2)^2=-6 ≤-2^(2^1)=-4 u2=-6-(-6)^2=-42 ≤-2^(2^2)=-16 on suppose un=un-1-(un-1)^2≤ -2^(2^n) ---------- Par definition un+1=un-(un)^2 or un≤-2^(2^n) (un)^2≥ (2^(2^n))^2=2^(2^(n+1)) -------- un≤-2^(2^n) 2^(2^(n+1))≤(un)^2 --------- un+2^(2^(n+1)) ≤(un)^2-2^(2^n) un+1=un-(un)^2 ≤-2^(2^n)-2^(2^(n+1)) ≤ -2^(2^(n+1)) la relation étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n et un≤ -2^(2^n) ------------- Agorithme écrit en Algobox 4---------------- u0=1/2 u1=u0-u0^0 =u0*(1-u0)<u0=1/2 on suppose un<1/2 un+1=un*(1-un) <un<1/2 la relation étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n ----------- u0=1/2 u1=u0-u0^0 =u0*(1-u0)>0 on suppose un>0 un+1=un*(1-un) comme un<1/2 et >0 ==> un+1>0 la relation étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n Conclusion 0<un<1/2 ------------- suite bornée donc convergente un+1=un-un^2 ==> un+1-un=-un^2 <0 donc suite décroissante et la suite converge vers 0 sa borne inférieure -------------
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 20 septembre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 20 septembre 2013 Fin ...... u1 <1 u2<1/2 on suppose un<1/n ==> -un^2 > -1/n^2 or par definition un+1=un-un^2 = un<1/n ==> un+1<1/n-un^2 <1/n-1/n^2 <1/(n+1) la relation étant héréditaire est valable pour toute valeur de n et un<1/n La limite de un vaut 0 lorsque n-> ∞
flavien23 Posté(e) le 28 septembre 2013 Auteur Signaler Posté(e) le 28 septembre 2013 Merci pour vos réponses. pourriez vous m'expliquer les étapes du raisonnement de cette ligne? merci un<1/n ==> un+1<1/n-un^2 <1/n-1/n^2 <1/(n+1)
E-Bahut pzorba75 Posté(e) le 28 septembre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 28 septembre 2013 n^2>n^2-1 1/n^2<1/(n^2-1) (n-1)*1/n^2<(n-1)/(n^2-1) 1/n-1/n^2<(n-1)/[(n-1)(n+1)] 1/n-1/n^2<1/(n+1) C'est ce point qui te bloque?
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 28 septembre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 28 septembre 2013 Ce que j'avais écrit était inexact car je n'étais pas parti de la bonne relation.... Je reprends : Par définition : un+1=un-un^2 d'où un^2 =un-un+1 comme un<1/n ==> un-un+1 =un^2 <1/n^2 ==> un+1-un<-1/n^2 comme un<1/n ==> un+1<un-1/n^2 < 1/n-1/n^2 et il est facile de démontrer que 1/n-1/n^2 <1/(n+1) d'où un+1<1/(n+1)
flavien23 Posté(e) le 28 septembre 2013 Auteur Signaler Posté(e) le 28 septembre 2013 1/n-1/n^2<1/(n+1) C'est ce point qui te bloque? oui ca a l'air logique mais comment le montrer? merci
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 28 septembre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 28 septembre 2013 comme l'a fait pzorba75 n^2-1<n^2 (n+1)*(n-1)>n^2 (n+1)/n^2<1/(n+1) 1/n-1/n^2<1/(n+1)
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