Dimensions Cône

[Imen2096]

Bonsoir

J'aimerais avoir votre aide

Dans une verrerie d'art on fabrique des vases sphériques en verre soufflé. Pour le transport et la commercialisation de ces pièces, on souhaite fabriquer un emballage original conique, tout en minimisant les coûts. S est une sphère de centre O et de rayon 6cm. On souhaite inscrire cette sphère dans un cône de révolution dont le volume v est le plus petit possible. Quelles doivent être les dimensions de ce cône ?

J'ai pensé à utiliser Thalès mais je n'arrive pas, pouvez-vous m'aider svp ?

[Barbidoux]

J'aurais bien une solution mais elle ne correspond pas aux connaissances d'un élève de seconde....

[Imen2096]

je suis en première S

[pzorba75]

Alors, une mise à jour de ton profil s'impose.

Quand ce sera fait, Barbidoux reviendra et donnera sa solution pour un élève de 1S.

[Barbidoux]

AB=h, r=6

Volume d'un cône

V=π*R^2*h/3

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sin(a)=6/(h-6)

tan(a)=R/h= sin(a)/cos(a) ==> cos(a)= (h/R)*9/(h-6)

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De la relation sin(a)^2+cos(a)^2=1 on déduit

(6/(h-6))^2+(h/r)^2*(6/(h-6))^2=1 ==> 36*R^2+36*h^2=R^2*(h-6)^2 ==> 36*h^2=R^2*(h-6)^2+36*R^2=R^(2)*((h-6)^2-36)=R^2*(h-12)*h ==> R^2= 36*h^2/(h*(h-12))

cette expression reportée dans V conduit à :

V=π*R^2*h/3=π*12*h^3/(h*(h-12))

V'=(24 π h)/(h - 12) - (12 π h^2)/(h - 12)^2=(12 π (h - 24) h)/(h - 12)^2

s'annule pour h=24 et h=0 et est < avant 24 et >0 après ce qui signifie que le volume est minimum pour h=24