Limite A Calculer

[jean luc]

Bonjour

Voilà j'ai deux limites a calculer mais je n'y arrive pas pouvez vous m'aidez svp.

Voici les 2 limites.

a) lim de ((cos(x) -1))/(x^2)

x=>0+

b) lim de ((sin(x) -x))/(x^2)

x=>0+

Merci

[pzorba75]

Essaie en remarquant que cos(x)=2cos^2(x/2)-1 donc (cos(x)-1)/x^2=(2cos^2(x/2)-2)/x^2=2*sin^2(x/2)/x^2=1/2*sin(x/2)/(x/2) qd x tend vers 0 sin(x/2)/(x/2° tend vers 1 donc (cos(x)-1)/x^2 tend vers 1/2.

A vérifier soigneusement.

[Barbidoux]

On peut utiliser la règle de l'hôpital dans le cas de limites conduisant à une forme indéterminée de type 0/0 ou ∞/∞

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a) lim de ((cos(x) -1))/(x^2)

x=>0+

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Lim (x->0^(+) ((cos(x) -x))/(x^2)=Lim (x->0^(+) (-sin(x)))/(2*x)=-1/2

puisque lim (x->0^(+) (sin(x)/x)=1

b) lim de ((sin(x) -x))/(x^2)

x=>0+

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Lim (x->0^(+) ((sin(x) -1))/(x^2)=Lim (x->0^(+) (cos(x)-1))/(2*x)=Lim (x->0^(+) ((sin(x) ))/(2)=0

[Barbidoux]

Dans le cas où la règle de l'hôpital n'aurait pas été vue on peut l'utiliser (sans le dire) en procédant de la manière suivante :

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Soit à étudier la limite de (sin(x)-x)/x^2 lorsque x->0

On pose f(x)=sin(x)-x et g(x)=x^2 et donc

Lim (x->0) (sin(x)-x)/x^2= lim ((f(x)-f(0))/x) /(g(x)-g(0)/x)

Les fonction f(x) et g(x) étant dérivables en x=0, Lim (x->0) (sin(x)-x)/x^2 est égal au rapport du taux d'accroissement de f(x) et g(x) en x=0 soit :

Lim (x->0) (sin(x)-x)/x^2= f'(0)/g'(0)= lim (x->0) (cos(x)-1)/(2*x)=0/0

On obtient encore une forme indéterminée alors on recommence

On pose u(x)=lim (x->0) (cos(x)-1) et v(x)=lim (x->0) 2*x

Les fonction u(x) et v(x) étant dérivables en x=0, lim (x->0) (cos(x)-1)/(2*x) est égal au rapport du taux d'accroissement de u(x) et v(x) en x=0 soit :

lim (x->0) (cos(x)-1)/(2*x)=lim(x->0) (u(x)-u(0))/x)/(v(x)-v(0)/x) = u'(0)/v'(0)=(-sin(0)/2) =0

Ce qui conduit de manière classique et en utilisant uniquement la notion de dérivée au résultat recherché …

[jean luc]

Excuser moi Barbidoux je n'ai pas compris votre démarche dans votre 1er post.

La première limite est:

lim de ((cos(x) -1)) / (x^2)

x=>0

Comment vous arriver a:

lim de ((cos(x) -x)) / (x^2) = -(sin(x))/ (2x) = -1/2

x=>0

Pourquoi vous avez remplacer le -1 par -x

Comment vous avez trouver 2x

[Barbidoux]

Erreur de frappe il faut lire

lim(x->0) ((cos(x) -1)) / (x^2)

On applique la règle de l'Hôpital

lim(x->0+) ((cos(x) -1)) / (x^2) ==Lim (x->0+) (-sin(x)))/(2*x)=-1/2

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ce qui revient à poser f(x)=(cos(x) -1) et g(x)=x^2 et donc

Lim (x->0) (cos(x)-1)/x^2= lim ((f(x)-f(0))/x) /(g(x)-g(0)/x)

Les fonction f(x) et g(x) étant dérivables en x=0, lim(x->0) (cos(x)-1)/x^2 est égal au rapport du taux d'accroissement de f(x) et g(x) en x=0 soit :

Lim (x->0) (cos(x)-1)/x^2= f'(0)/g'(0)= lim (x->0) (-sin(x))/(2*x)=-1/2