Exercice sur les équations cartésiennes

[noctis]

Bonjour,

j'ai un DM à faire et il y a cet exercice que je n'arrive pas à faire.

Excercice:

Le but de cet exercice est de démontrer la propriété suivant:

<< Dans un trapèze, la droite qui joint les milieux des côtés parallèles passe par le point d'interséction des cotés non parallèles et des diagonales.>>

Soit ABCD un trapèze tel que les droites (AB) et (DC) sont parallèles. On suppose que les droites (AD) et (BC) se coupent en un point M et que les droites (BD) et (AC) se coupent en un point N.

Soit I et J les milieux réspéctifs des egments [AB] et[CD].

On se place dans le repère (A;AI; AD)

1] a. Déterminer les coordonnées despoints A, I, B et D.

a(0;0) I(1;0) D(0;1) B(2;0)

b. On appelle c l'abscisse du point C, avec c réel positif non nul.

Déterminer les coordonnées des point C et J en fonction de c.

C(c;1) J(1/2c;1) Mais ici je ne suis pas sûr...

c. Déterminer c tel que les vecteur vecAD et vecBC soit colinéaires.

vecAD (0;-1) vecBC(c-2; 1)

0*(-1) - (-1)(c-2) =0

c= 2

2. On suppose dorénavant que c 2

a. Déterminer une équation cartésienne des droites (AC), (DB), (BC) et (IJ).

b. Déterminer les coordonnées des points N et M.

3] a. Montrer que les points M, N, I, et J sont alignés.

b. Déterminer les coefficients k tel que vecNJ=kvecNI et k' tel que MJ= k'vecMI.

Que constate-t-on?

Merci d'avance!

[pzorba75]

<< Dans un trapèze, la droite qui joint les milieux des côtés parallèles passe par le point d'intersection des cotés non parallèles et des diagonales.>>

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Soit ABCD un trapèze tel que les droites (AB) et (DC) sont parallèles. On suppose que les droites (AD) et (BC) se coupent en un point M et que les droites (BD) et (AC) se coupent en un point N.

Soit I et J les milieux respectifs des segments [AB] et[CD].

On se place dans le repère (A;AI; AD)

1] a. Déterminer les coordonnées des points A, I, B et D.

a(0;0) I(1;0) D(0;1) B(2;0) Correct

b. On appelle c l'abscisse du point C, avec c réel positif non nul.

Déterminer les coordonnées des point C et J en fonction de c.

C(c;1) J(1/2c;1) Correct, qu'est-ce qui te fait douter? Mais ici je ne suis pas sûr...

c. Déterminer c tel que les vecteur vecAD et vecBC soit colinéaires.

vecAD (0;-1) vecBC(c-2; 1)

0*(-1) - (-1)(c-2) =0

c= 2 Correct

2. On suppose dorénavant que c 2

a. Déterminer une équation cartésienne des droites (AC), (DB), (BC) et (IJ).

Tu écris y=ax+b ,a et b deux réels que tu détermines avec A(0;0) et C(c;1) soit 0=a*0+b=>b=0 1=a*c+0=>a=1/c => Equation de (AC) y=1/c*x

Tu fais pareil pour les autres droites, aucune difficulté.

b. Déterminer les coordonnées des points N et M.

M(x_M;y_M) est tel que x_M, y_M vérifient les deux équations, ce sont donc les solutions du système de 2 équations linéaires d'inconnues x et y.

Quand tu seras arrivé à cette question, la question suivante sera simple.

3] a. Montrer que les points M, N, I, et J sont alignés.

b. Déterminer les coefficients k tel que vecNJ=kvecNI et k' tel que MJ= k'vecMI.

Que constate-t-on?

[noctis]

Merci pour la correction et les aides!

Mais pour les équations cartésiennes je ne connais plus cette méthode, celle qu'on fait c'est avec les vecteur et ce qui me pose problème c'est quand j'ai "x-c" et je trouve comme résultat (x-c)-y.

[pzorba75]

Pour définir une droite avec son vecteur directeur vec(d), soit A(x_A;yA) un point la droite et M(x;y) un point décrivant la droite quand x décrit R.On a vec(AM)=k*vec(d) ce qui va donner un système x-x_A=kx_d et y-y_A=ky_d donc (x-x_A)/x_d=(y-y_A)/y_d.

On définit vec(d) par exemple égal à vec(AB), qui fera office de vecteur directeur, belle promotion.

Tu dois retrouver ainsi ce que tu as vu en cours.

[noctis]

Je viens de faire les calcules et je trouve pour

DB= -x-2y+2

BC = x-2y+yc-2

IJ = x- 2y1/2c -1

Je suis pas sur de mes résultat

[pzorba75]

L'équation cartésienne est de la forme ax+by+c=0, a, b et c étant des réels. Revois tes réponses, elles sont incomplètes.

[noctis]

J'ai a chaque fois oublier le "=0"

C'est ça mon erreure?

[pzorba75]

J'ai à chaque fois oublié le "=0"

C'est ça mon erreure?

(DB) correct

(BC) faux

Pour vérifier tes calculs, tu remplaces x et y dans l'équation cartésienne par les coordonnées des points et tu dois trouver 0.

A reprendre.

[noctis]

D'accord mais lorsqu'il y a un "c" j'ai du mal, je me mélange dans mes calcules.

[sophiexdolde]

Bonjour, J'ai le même exercice..

Pouvez vous me dire le calcul des équations cartésiennes, car je ne comprends rien..

et déterminer les coordonnées des points N et M.

puis les coefficients.. s'il vous plâit..

[piou91]

bonjour, j'ai le meme exercice, j'aurais besoin d'aide pour les equations cartésiennes a trouvé, je ne trouve pas (BC) et (IJ).

et la fin de 'exercice serait acceptable aussi.. si tu as la correction par exemple ca serait cool!

merci bien

[piou91]

http://p6.storage.canalblog.com/66/18/920415/70666275.pdf

attention au B qui n'a pas les même coordonnées!

[Barbidoux]

Soit ABCD un trapèze tel que les droites (AB) et (DC) sont parallèles. On suppose que les droites (AD) et (BC) se coupent en un point M et que les droites (BD) et (AC) se coupent en un point N.

Soit I et J les milieux respectifs des segments [AB] et[CD].

On se place dans le repère (A;AI; AD)

1] a. Déterminer les coordonnées des points A, I, B et D.

a(0;0) I(1/2;0) D(0;1) B(2;0)

b. On appelle c l'abscisse du point C, avec c réel positif non nul.

Déterminer les coordonnées des point C et J en fonction de c.

-----------------

C(c;1) J(c/2, 1)

-----------------

c. Déterminer c tel que les vecteur vecAD et vecBC soit colinéaires.

------------------

AD(0;-1)=k*(c-2; 1) ==> c=2

-------------------

2. On suppose dorénavant que c ≠ 2

-------------------

a. Déterminer une équation cartésienne des droites (AC), (DB), (BC) et (IJ).

AC a pour coefficient directeur 1/c et passe par l'origine donc yAC=x/c

DB a pour coefficient directeur-1/2 et a une ordonnée à l'origine égale à 1 ==> yDB=-x/2+1

BC a pour coefficient directeur-1/(2-c) son équation réduite s'écrit yBC=-x/(2-c)+ b et passe par B ==> 0=-2/(2-c)+ b ==> b=2/(2-c) ==> yBC=(-x+2)/(2-c)

IJ(c/2-1,1) a pour coefficient directeur 2/(c-2) son équation réduite s'écrit yIJ=2*x/(c-2)+ b et passe par I ==> 0=2/(c-2)+b ==> yIJ=(2*x-2)/(c-2)

b. Déterminer les coordonnées des points N et M.

N est l'intersection de AC et DB ==> x/c=-x/2+1 ==> x*(1/c+1/2)=1 ==>x= 2*c/(2+c) et y=2/(2+c) ==> N{2*c/(2+c); 2/(2+c)}

M est l'ordonnée à l'origine de BC et IJ soit M{0,2/(2-c)}

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3] a. Montrer que les points M, N, I, et J sont alignés.

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IN{2*c/(2+c)-1; 2/(2+c)} ==> IN{(c-2)(2+c); 2/(2+c)}

JN{2*c/(2+c)-c/2; 2/(2+c)-1} ==> JN{c*(2-c)/(2*(2+c); -2*c/(2*(2+c))} ==> IN*(-c/2)=JN ==> I, J et N sont alignés

MJ{c/2; 1-2/(2-c)} ==> MJ{c/2; -c/(2-c)}

MI{1; -2/(c-2)} ==> MI{(c-2)/2; -2/(c-2) ==>MI*(c/2)=MJ ==> I, J et M sont alignés et donc que M, N , J et I sont alignés

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b. Déterminer les coefficients k tel que NJ=k*NI et k' tel que MJ= k'*MI. Que constate-t-on?

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On constate que NI*(-c/2)=NJ et que MI*(c/2)=MJ autrement dit que les segment NI et NJ ont les mêmes proportions que MI et MJ