polynôme

[lily-21]

Bonsoir à tous,

POurriez-vous m'aider s'il vous plaît pour cette exercice ?

Exercice. Determiner les racines du polynôme

X^4 + X^3 + X^2 + X + 1

En deduire que 2*cos(4pi/5) + 2*cos(2pi/5) + 1 = 0

Utiliser cette égalité pour montrer que cos(2pi/5) est une racine du polynôme 4x² + 2X - 1.

Démontrer que : cos(2pi/5) = (-1 + racine(5)) / 4

Ce que j'ai fait: X^5-1 / X-1 = X^4+X^3+X²+X+1

D'après le cours, connaît les racines du polynôme X^5-1: ce sont les racines 5ième de l'unité.

Donc X^4+X^3+X²+X+1 = (X-e(2ipi/5)) * (X-e(4ipi/5)) * (X-e(6ipi/5)) * (X-e(8ipi/5)).

Après je bloque pour le reste.

Pourriez-vous m'aider svp ?

Merci pour votre aide!

Bonne soirée

[pzorba75]

De 2*cos(4pi/5) + 2*cos(2pi/5) + 1 = 0, il vient en posant cos(2pi/5)=x et cos(2*2pi/5)=2cos^2(2pi/5)-1=2x^2-1

2(2x^2-1)+2x+1=0 > 4x^2+2x-1=0 (E) donc cos(2pi/5) est solution de (E)

En résolvant : delta=2^2+4*4=40=(2*sqrt(5))^2 donc x=(-2+2*sqrt(5))/(2*4)=(-1+sqrt(5))/4 seule la racine positive convient pour 2pi/5 donc cos(2pi/5)=(-1+sqrt(5))/4

A toi de reprendre tout cela en rédigeant avec précision et rigueur.

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Je vais apporter ma pierre à l'édifice.

Ton erreur d'avoir voulu factorisé 1+X+X^2+X^3+X^4 (P). Avec les racines de l'unité.

Mais surtout la rédaction est trop approximative (et je suspecte que ce que tu as "trouvé" vient d'une source internet car si tu appliquais exactement ce que tu dis, tu aurais fait une seconde erreur.

On reconnaît la série géométrique.

Donc, pour tout x de C différent de 1, 1+X+X^2+X^3+X^4 = (1-X^5)/(1-X).

On peut dire que les racines de 1+X+X^2+X^3+X^4 sont les racines de l'unité de X^5 exclu de 1. A savoir, pour tout k dans [|1,4|], xk = exp(i2k*pi/5).

Prenons x1 = exp(i2*pi/5). Donc,

1 + exp(i2*pi/5) + exp(i4*pi/5) + exp(i6*pi/5) + exp(i8*pi/5) = 0 (car exp(i2*pi/5) est une racine de (P)).

=> 1 + exp(i2*pi/5) + exp(i4*pi/5) + exp(-i4*pi/5) + exp(-i2*pi/5) = 0 (modulo 2pi)

=> 1 + 2*cos(2pi/5) + 2*cos(4pi/5) = 0 (Q). (par définition du cosinus) CQFD.

Comme l'a indiqué Zorba, en posant x = cos(2pi/5), on sait que cos(4pi/5) = 2*cos²(2pi/5)-1 = 2x²-1.

Donc,

(Q) => 1 + 2x + 2*(2x²-1) = 0 => 4x² + 2x - 1 = 0.

En conclusion, cos(2pi/5) est solution de 4x² + 2x - 1 = 0.

Résoudre 4x² + 2x - 1 = 0 est de niveau première. J'imagine que tu sais faire.

[lily-21]

=> 1 + 2*cos(2pi/5) + 2*cos(4pi/5) = 0 (Q). (par définition du cosinus) CQFD.

Bonsoir,

merci pour votre aide à tous les deux!

Je ne comprends pas comment vous faites pour arrivers à" 2*cos(2pi/5) + 2*cos(4pi/5)". Je ne connais pas cette définition du cosinus.

Pourriez-vous m'expliquer svp ?

Merci d'avance et bonne soirée

[pzorba75]

Tu dois avoir appris, dans le chapitre produit scalaire, les formules de base des fonctions trigonométriques et parmi celles-ci une formule du genre cos(2a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a).

A revoir et à retenir, ces formules servent très souvent pour étudier des dérivées avec des fonctions trigonométriques ou obtenir des primitives.

Ces formules ne se devinent pas, elles se démontrent et il faut les retenir.

[Boltzmann_Solver]

La formule qui te manque, c'est pour tout x de R, cos(x) = (e^(ix)+e^(-ix))/2

[lily-21]

Bonjour ! Merci à tous les deux

c'est la formûle du binôme ?

mais du coup comment on fait pour la mettre dans la rédaction svp ?

[Boltzmann_Solver]

Non, le binôme de Newton sert uniquement à développer une expression de la forme (a+b)^n avec a,b dans R et n dans N.

Niveau rédaction, je t'invite à lire ma correction. Je tâche de toujours rédiger mes réponses car la rédaction, ça ne s'acquiert que par la pratique.

[lily-21]

Bonsoir !

voilà ma rédaction, pourriez-vous me dire si c'st juste svp ? Merci

En déduire que 1+2cos(2pi/5) + 2cos(4pi/5) = 0

ON prend x= i2pi/5

1 + exp(i2*pi/5) + exp(i4*pi/5) + exp(i6*pi/5) + exp(i8*pi/5) = 0 (car exp(i2*pi/5) est une racine de (P)).

=> 1 + exp(i2*pi/5) + exp(i4*pi/5) + exp(-i4*pi/5) + exp(-i2*pi/5) = 0 (modulo 2pi)

D'après la formule d'Euler, on a cos téta= (e(i téta)+ e(-i téta)) / 2.

On peut donc écrire: 1+ ( e(i2pi/5) + e(-i2pi/5))/2 + ( e(i4pi/5) + e(-i4pi/5)) /2 =0

équivaut à : 1+ cos (2pi/5) + cos( 4pi/5) = 0

par contre c'est là où je sais pas comment mettre le 2

[lily-21]

Pardon, je viens de trouver !

2cos(téta) = e(i téta)+ e(- i téta)

[Boltzmann_Solver]

Pardon, je viens de trouver !

2cos(téta) = e(i téta)+ e(- i téta)

[lily-21]

Mais j'ai compris c'est l'essentiel et j'ai ajouté des choses.

Mais c'est grâce à e-bahut que je réussis en maths, physique, depuis à la première.

Je voud remercie bcp

[Boltzmann_Solver]

Mais j'ai compris c'est l'essentiel et j'ai ajouté des choses.

Mais c'est grâce à e-bahut que je réussis en maths, physique, depuis à la première.

Je voud remercie bcp

[lily-21]

Bonsoir,

je reviens encore avec mes exercices sur les polynômes mais celui-là est un peu plus compliqué !

POurriez-vous m'aider svp encore ?

Merci bcp

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

1)

Questions préliminaires :

- Que vaut la dérivée d'une somme ?

- Que vaut la dérivée de k*f(x) où k est un réel non nul et f(x), une fonction dérivable sur R.

- Que vaut la dérivée de x^k ou k dans N.

[lily-21]

Bonjour,

je réponds à vos question.

- la dérivée d'une somme = à la somme des dérivées

- (k*f(x))' = k* f'(x)

-(x^k)' = k* x^(k-1)

Pour le 1, j'ai fait ça mais je ne sais pas comment le faire en fonction de P(n-1)

p'(n)= 1+.......+ [(( n-1) * X^(n-2)) / (n-1)! ] + [(nX^(n-1))/ n!]

POur les deux autres questions, je ne vois pas comment faire!

Merci pour votre aide !

[Boltzmann_Solver]

Pour le 1), ce n'est pas fini. Tu peux simplifier encore ton expression. Quand tu auras simplifié, tu verras apparaître P_{n-1}.

Par contre, tu as dit une bêtise.

Pour tout k de N, (x^k)' = 0 si k = 0 sinon k*x^(k-1). C'est une erreur classique, fais y attention.

[lily-21]

je supprime les (n-1) et n ? et le vectoriel ?

et pour les autres ? pourriez-vous m'aider svp ?

[Boltzmann_Solver]

je supprime les (n-1) et n ? et le vectoriel ?

et pour les autres ? pourriez-vous m'aider svp ?

[lily-21]

non je n'espère rien, c'est juste que j'ai rien compris, c'est la vérité

vous me dites qu'il faut simplifier, donc je suppose que ça donne: p'(n)= 1+.......+ [( *X^(n-2)) ] + [(X^(n-1))]

mais on a le droit d'enlever les vectoriels ?

[Boltzmann_Solver]

Je te rappelle que n! = 1*2*3*...*n. Donc, que vaux n/n! ?

[lily-21]

bonjour,

ça donne 1, on simplifie

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Non ! Rédige correctement et ne me donne pas de résultats sorties du chapeau ! Surtout quand c'est court comme ici.

Donc, en utilisant la définition de factorielle que je t'ai déjà donnée, complète la ligne de calcul ci-dessous.

n/n! = ._________ = ..........

[lily-21]

Bonsoir,

pour la question 1). j'ai trouvé: Pn(x)= 1+X+ X²/2+...........+ X^n/n!

donc P'n(x)= 0+1 + 2X/2+................+ nX^(n-1)/n! = 1 + X +...........+ X^(n-1)/(n-1)! = P(n-1)(X)

Donc P'n = P(n-1)

Par contre pour le reste je bloque complétement, et c'est la vérité.

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

pour la question 1). j'ai trouvé: Pn(x)= 1+X+ X²/2+...........+ X^n/n!

donc P'n(x)= 0+1 + 2X/2+................+ nX^(n-1)/n! = 1 + X +...........+ X^(n-1)/(n-1)! = P(n-1)(X)

Donc P'n = P(n-1)

Par contre pour le reste je bloque complétement, et c'est la vérité.