Vecteurs

[gandalf]

bonsoir,

j'ai un exo de maths qui me cause quelques soucis.

Voici l'énoncé :

on considère un triangle ABC; Soit E le point défini par vect AE+4/3 vec AB et F le point défini par vect cf=1/3 vec AC.

Soit I le milieu du segment [bC] et J le milieu du segment [EF]. Soit K le point d'intersection des droites (BF) et (CE).

1.Faire une figure. Que peut-on conjecturer pour les points A,I,J et K ?

2.Démontrer vectoriellement que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.

3.Démontrer que 1/2(vec AB+vec AC)=vect AI.On admet que, de même, 1/2(vec AE+ vec AF)= vec AJ.Démontrer que les points A,I et J sont alignés.

4.a)pourquoi les vecteurs AB et AC forment-ils une base du plan? dans le repère (A; vec AB; vec AC) donner les coordonnées des points A, B, C, E et F.

b)déterminer une équation cartésienne de la droite (CE), de la droite (BF). En déduire les coordonnées du point K.

c)démontrer que le point K appartient à la droite (AI).

question 1 :

j'ai fais la figure.

je suppose que les points A,I,J et K sont alignés.

question 2 :

j'ai utilisé le théorème de Thalès et la relation de Chasle.

J'ai pu vérifié l'égalité et en ai déduit que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.

question 3 :

c'est à partir de cette question que je bloque.

j'ai utilisé la relation de Chasle, mais je n'aboutis pas à démontrer l'égalité.

je vous remercie de votre aide

[pzorba75]

2.Démontrer vectoriellement que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.

vec(AE)=4/3*vec(AB) vec(CF)=1/3*vec(AC)

vec(EF)=vec(EA)+vec(AF)=vec(EB)+vec(BA)+vec(AC)+vec(CF)=-1/3*vec(AB)-vec(AB)+vec(AC)+1/*vec(AC)=-4/3*vec(AB)+4/3*vec(AC)=4/3*(-vec(AB)+vec(AC)==4/3*(vec(BA)+vec(AC))=4/3*vec(BC)

vec'EF° et vec(AC) sont colinéaires, donc (EF) et (AC) sont parallèles.

Tu peux continuer en t'inspirant de cet exemple; avec les vecteurs, il n'y a que la relation de Chasles pour démontrer.

[gandalf]

Bonjour,

et merci pour la réponse, mais en fait c'est surtout la 3. qui coince. J'utilise la relation de Chasles mais cela n'aboutit pas.

[Barbidoux]

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3.Démontrer que 1/2(vec AB+vec AC)=vect AI.On admet que, de même, 1/2(vec AE+ vec AF)= vec AJ.Démontrer que les points A,I et J sont alignés.

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I est le milieu de BC ==> IB+IC=0

(2*AI)/2=AI ==> (2*AI+ IB+IC)=AI ==> (AI+IB+AI+IC)/2=AI ==> (AB+AC)/2=AI

On démontrerait de la même manière que (AE+AF)/2=AJ

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(4*AB/3+AC+CF)/2=AJ ==> (4*AB/3+AC+AC/3)/2=AJ ==> 4*(AB+AC)/6=AJ ==> 4*AI/3=AJ ==> A,I J sont alignés

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[gandalf]

bonjour,

et merci de votre réponse.

Je n'avais pas pensé à IB+IC=0

Là ok, j'ai pu démontrer l'égalité.

En ce qui concerne l'alignement des point A,I et J :

après le calcul que vous avez fait on trouve 4/3AI=AJ

Cela démontre qu'ils sont colinéaires et c'est la raison pour laquelle les points sont alignés?

merci

[Barbidoux]

Deux vecteurs colinéaires ont des direction parallèles. Si ils ont un point commun ils appartiennent à une même droite, donc les points de leurs extrémités sont alignés.

[gandalf]

bonjour,

et merci de votre réponse. Par contre désolée de répondre aussi tardivement, mais j'étais absente.

J'ai répondu à la question 4, mais je ne suis pas sûre du tout de mes réponses :

a)Les vecteurs AB et AC forment une base du plan, car les points A,B et C ne sont pas alignés et ne sont donc pas colinéaires.

coordonnées :

A(0;0)

B(1;0)

C(0,1)

E(4/3;0)

F(0;4/3)

b) Les coordonnées de CE sont (4/3;-1)

Un point M de coordonnées (x;y) appartient à cette droite si et seulement si CE et CM sont colinéaires.

CM a pour coordonnées (x;y-1)

Ce et CM sont colinéaires si x(-1)=y(4/3)

y=-3/4x

Equation cartésienne de la droite (CE) : y=-3/4x

Les coordonnées de BF sont (-1;4/3)

Le point M de coordonnées (x;y) appartient à cette droite si et seulement si BF et BM sont colinéaires.

les coordonnées de BM sont (x+1;y-4/3)

BM et BF sont colinéaires si (x+1)(4)=(-1)(y-4/3)

y=-4x-8/3

Equation cartésienne de la droite (BF) : y=-4x-8/3

Est-ce que cela est correct?

Merci d'avance de votre réponse

Arduina

[Barbidoux]

on considère un triangle ABC; Soit E le point défini par vect AE+4/3 vec AB et F le point défini par vect cf=1/3 vec AC.

Soit I le milieu du segment [bC] et J le milieu du segment [EF]. Soit K le point d'intersection des droites (BF) et (CE).

1.Faire une figure. Que peut-on conjecturer pour les points A,I,J et K ?

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On peut conjecturer que les points A, I, K , J sont alignés

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2.Démontrer vectoriellement que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.

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Relations vectorielles

EF=EB+BC+CF

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AE=4*AB/3 ==> AB+BE=4*AB/3 ==> BE=AB/3

Par construction CF=AC/3 ==> EF=-AB/3+BC+AC/2 =BC+BA/3+AC/3+BC+BC/3=4*BC/3 ==> EF et BC sont colinéaires et les droites (EF) et (BC) sont parallèles.

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3.Démontrer que 1/2(vec AB+vec AC)=vect AI.On admet que, de même, 1/2(vec AE+ vec AF)= vec AJ.Démontrer que les points A,I et J sont alignés.

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I est le milieu de BC ==> IB+IC=0

(2*AI)/2=AI ==> (2*AI+ IB+IC)=AI ==> (AI+IB+AI+IC)/2=AI ==> (AB+AC)/2=AI

On démontrerait de la même manière que (AE+AF)/2=AJ

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(4*AB/3+AC+CF)/2=AJ ==> (4*AB/3+AC+AC/3)/2=AJ ==> 4*(AB+AC)/6=AJ ==> 4*AI/3=AJ ==> A,I J sont alignés

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4.a)pourquoi les vecteurs AB et AC forment-ils une base du plan? dans le repère (A; vec AB; vec AC) donner les coordonnées des points A, B, C, E et F.

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Deux vecteurs non colinéaires forment une base du plan

A{0,0}, B{1,0} C{0,1}, E{4/3,0}, F{0,4/3}

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b)déterminer une équation cartésienne de la droite (CE), de la droite (BF). En déduire les coordonnées du point K.

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équation réduite du plan y=a*x+b où a et b sont des constantes dont on doit déterminer la valeur

Droite (CE)

Elle passe par C ==>1=b et par E ==> 0=4*a/3+1 ==> a=-3/4 ==> y=-3*x/4+1

Droite (BF)

Elle passe par B ==>0=a+b et par F ==> 4/3=b ==> a=-4/3 ==> y=-4*x/3+4/3

les coordonnées de k sont solution du système d'équation

y=-3*x/4+1

y=-4*x/3+1 ==> x=4/7,y4/7 ==> K{4/7,4/7}

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c)démontrer que le point K appartient à la droite (AI).

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La droite AI a pour expression y=x,les coordonnées de K satisfaisant l'équation de AI le point K appartient à AI

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[gandalf]

bonsoir,

et merci pour la correction. j'avais fais d'énormes erreurs de calcul (inversion,erreur de signes etc...)

j'ai refais mes calculs et je trouve comme toi.

merci encore et bonne soirée

Arduina