gandalf Posté(e) le 25 octobre 2012 Signaler Share Posté(e) le 25 octobre 2012 bonsoir, j'ai un exo de maths qui me cause quelques soucis. Voici l'énoncé : on considère un triangle ABC; Soit E le point défini par vect AE+4/3 vec AB et F le point défini par vect cf=1/3 vec AC. Soit I le milieu du segment [bC] et J le milieu du segment [EF]. Soit K le point d'intersection des droites (BF) et (CE). 1.Faire une figure. Que peut-on conjecturer pour les points A,I,J et K ? 2.Démontrer vectoriellement que les droites (BC) et (EF) sont parallèles. 3.Démontrer que 1/2(vec AB+vec AC)=vect AI.On admet que, de même, 1/2(vec AE+ vec AF)= vec AJ.Démontrer que les points A,I et J sont alignés. 4.a)pourquoi les vecteurs AB et AC forment-ils une base du plan? dans le repère (A; vec AB; vec AC) donner les coordonnées des points A, B, C, E et F. b)déterminer une équation cartésienne de la droite (CE), de la droite (BF). En déduire les coordonnées du point K. c)démontrer que le point K appartient à la droite (AI). question 1 : j'ai fais la figure. je suppose que les points A,I,J et K sont alignés. question 2 : j'ai utilisé le théorème de Thalès et la relation de Chasle. J'ai pu vérifié l'égalité et en ai déduit que les droites (BC) et (EF) sont parallèles. question 3 : c'est à partir de cette question que je bloque. j'ai utilisé la relation de Chasle, mais je n'aboutis pas à démontrer l'égalité. je vous remercie de votre aide Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut pzorba75 Posté(e) le 25 octobre 2012 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 25 octobre 2012 2.Démontrer vectoriellement que les droites (BC) et (EF) sont parallèles. vec(AE)=4/3*vec(AB) vec(CF)=1/3*vec(AC) vec(EF)=vec(EA)+vec(AF)=vec(EB)+vec(BA)+vec(AC)+vec(CF)=-1/3*vec(AB)-vec(AB)+vec(AC)+1/*vec(AC)=-4/3*vec(AB)+4/3*vec(AC)=4/3*(-vec(AB)+vec(AC)==4/3*(vec(BA)+vec(AC))=4/3*vec(BC) vec'EF° et vec(AC) sont colinéaires, donc (EF) et (AC) sont parallèles. Tu peux continuer en t'inspirant de cet exemple; avec les vecteurs, il n'y a que la relation de Chasles pour démontrer. Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
gandalf Posté(e) le 26 octobre 2012 Auteur Signaler Share Posté(e) le 26 octobre 2012 Bonjour, et merci pour la réponse, mais en fait c'est surtout la 3. qui coince. J'utilise la relation de Chasles mais cela n'aboutit pas. Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 26 octobre 2012 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 26 octobre 2012 ------------ 3.Démontrer que 1/2(vec AB+vec AC)=vect AI.On admet que, de même, 1/2(vec AE+ vec AF)= vec AJ.Démontrer que les points A,I et J sont alignés. ------------- I est le milieu de BC ==> IB+IC=0 (2*AI)/2=AI ==> (2*AI+ IB+IC)=AI ==> (AI+IB+AI+IC)/2=AI ==> (AB+AC)/2=AI On démontrerait de la même manière que (AE+AF)/2=AJ ----- (4*AB/3+AC+CF)/2=AJ ==> (4*AB/3+AC+AC/3)/2=AJ ==> 4*(AB+AC)/6=AJ ==> 4*AI/3=AJ ==> A,I J sont alignés ------------ Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
gandalf Posté(e) le 26 octobre 2012 Auteur Signaler Share Posté(e) le 26 octobre 2012 bonjour, et merci de votre réponse. Je n'avais pas pensé à IB+IC=0 Là ok, j'ai pu démontrer l'égalité. En ce qui concerne l'alignement des point A,I et J : après le calcul que vous avez fait on trouve 4/3AI=AJ Cela démontre qu'ils sont colinéaires et c'est la raison pour laquelle les points sont alignés? merci Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 26 octobre 2012 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 26 octobre 2012 Deux vecteurs colinéaires ont des direction parallèles. Si ils ont un point commun ils appartiennent à une même droite, donc les points de leurs extrémités sont alignés. Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
gandalf Posté(e) le 28 octobre 2012 Auteur Signaler Share Posté(e) le 28 octobre 2012 bonjour, et merci de votre réponse. Par contre désolée de répondre aussi tardivement, mais j'étais absente. J'ai répondu à la question 4, mais je ne suis pas sûre du tout de mes réponses : a)Les vecteurs AB et AC forment une base du plan, car les points A,B et C ne sont pas alignés et ne sont donc pas colinéaires. coordonnées : A(0;0) B(1;0) C(0,1) E(4/3;0) F(0;4/3) b) Les coordonnées de CE sont (4/3;-1) Un point M de coordonnées (x;y) appartient à cette droite si et seulement si CE et CM sont colinéaires. CM a pour coordonnées (x;y-1) Ce et CM sont colinéaires si x(-1)=y(4/3) y=-3/4x Equation cartésienne de la droite (CE) : y=-3/4x Les coordonnées de BF sont (-1;4/3) Le point M de coordonnées (x;y) appartient à cette droite si et seulement si BF et BM sont colinéaires. les coordonnées de BM sont (x+1;y-4/3) BM et BF sont colinéaires si (x+1)(4)=(-1)(y-4/3) y=-4x-8/3 Equation cartésienne de la droite (BF) : y=-4x-8/3 Est-ce que cela est correct? Merci d'avance de votre réponse Arduina Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 28 octobre 2012 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 28 octobre 2012 on considère un triangle ABC; Soit E le point défini par vect AE+4/3 vec AB et F le point défini par vect cf=1/3 vec AC. Soit I le milieu du segment [bC] et J le milieu du segment [EF]. Soit K le point d'intersection des droites (BF) et (CE). 1.Faire une figure. Que peut-on conjecturer pour les points A,I,J et K ? ------------- On peut conjecturer que les points A, I, K , J sont alignés ------------ 2.Démontrer vectoriellement que les droites (BC) et (EF) sont parallèles. ------------- Relations vectorielles EF=EB+BC+CF ----- AE=4*AB/3 ==> AB+BE=4*AB/3 ==> BE=AB/3 Par construction CF=AC/3 ==> EF=-AB/3+BC+AC/2 =BC+BA/3+AC/3+BC+BC/3=4*BC/3 ==> EF et BC sont colinéaires et les droites (EF) et (BC) sont parallèles. ------------ 3.Démontrer que 1/2(vec AB+vec AC)=vect AI.On admet que, de même, 1/2(vec AE+ vec AF)= vec AJ.Démontrer que les points A,I et J sont alignés. ------------- I est le milieu de BC ==> IB+IC=0 (2*AI)/2=AI ==> (2*AI+ IB+IC)=AI ==> (AI+IB+AI+IC)/2=AI ==> (AB+AC)/2=AI On démontrerait de la même manière que (AE+AF)/2=AJ ----- (4*AB/3+AC+CF)/2=AJ ==> (4*AB/3+AC+AC/3)/2=AJ ==> 4*(AB+AC)/6=AJ ==> 4*AI/3=AJ ==> A,I J sont alignés ------------ 4.a)pourquoi les vecteurs AB et AC forment-ils une base du plan? dans le repère (A; vec AB; vec AC) donner les coordonnées des points A, B, C, E et F. ------------ Deux vecteurs non colinéaires forment une base du plan A{0,0}, B{1,0} C{0,1}, E{4/3,0}, F{0,4/3} ------------ b)déterminer une équation cartésienne de la droite (CE), de la droite (BF). En déduire les coordonnées du point K. ------------ équation réduite du plan y=a*x+b où a et b sont des constantes dont on doit déterminer la valeur Droite (CE) Elle passe par C ==>1=b et par E ==> 0=4*a/3+1 ==> a=-3/4 ==> y=-3*x/4+1 Droite (BF) Elle passe par B ==>0=a+b et par F ==> 4/3=b ==> a=-4/3 ==> y=-4*x/3+4/3 les coordonnées de k sont solution du système d'équation y=-3*x/4+1 y=-4*x/3+1 ==> x=4/7,y4/7 ==> K{4/7,4/7} ------------ c)démontrer que le point K appartient à la droite (AI). ------------- La droite AI a pour expression y=x,les coordonnées de K satisfaisant l'équation de AI le point K appartient à AI ------------ Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
gandalf Posté(e) le 28 octobre 2012 Auteur Signaler Share Posté(e) le 28 octobre 2012 bonsoir, et merci pour la correction. j'avais fais d'énormes erreurs de calcul (inversion,erreur de signes etc...) j'ai refais mes calculs et je trouve comme toi. merci encore et bonne soirée Arduina Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
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