Aide pour un exercice sur les suites et les limites

[__Blackjack__]

Bonsoir à tous. J'ai besoin d'un peu d'aide pour terminer un exercice.

J'ai une fonction f(x) = 1/2 (x + 2/x)

J'ai la suite défini par u₀ = 3/2 et par u_n+1 = f(u_n)

J'ai déjà fait les premières questions qui me demandaient de calculer la dérivé de la fonction, de faire le tableau de variation de f, de calculer u₁ et u₂

et de prouver que :

(2) < u_n+1 < u_n 3/2

Jusque là tout va bien.

Mais on me demande ensuite de démontrer que :

u_n+1 - (2) < 1/2 (u_n - (2) )

Et la c'est la panne sèche, j'ai beau tenter mille méthode, je n'aboutis jamais à quelque chose d'interessant.

Bien sûr il est facile de prouver que

u_n+1 - (2) < u_n - (2)

Mais je n'arrive pas à introduire le 1/2, j'ai esssayé aussi de remplacer u_n+1 par f(u_n) mais même problème, ça n'abouti pas.

Je vous remercie d'avance pour votre aide et vous souhaite une bonne soirée

[pzorba75]

u_n+1-sqrt(2)=1/2u_n+1/u_n-sqrt(2)=(u_n^2+2-2sqrt(2)u_n)/(2u_n)=(u_n-sqrt(2))^2/(2u_n)=1/2*(u_n-sqrt(2))*(u_n-sqrt(2))/u_n=1/2(u_n-sqrt(2))*(1-sqrt(2)/u_n)<1/2(u_n-sqrt(2)) (avec sqrt(2)<u_n<3/2)

=>u_n+1-sqrt(2)<=1/2(u_n-sqrt(2))

A rédiger après vérification.

[__Blackjack__]

Je sais que ça date un peu, mais le prof nous a laissé les vacances pour faire le DM donc vu que je ne trouvais pas je l'ai un peu laissé en standby.

ok merci, j'avais pas penser à partir comme ça, je pensais qu'il fallait partir de l'inégalité.

Par contre ça me pose un autre problème car la question suivante me demande de déduire par récurrence que pour tout entier n de IN

0 < u_n- (2) (1/2)^n * (u₀ - 2)

J'ai d'abord essayé ceci.

J'avais pensé à poser v_n = u_n - 2

Prouver que v_n est une suite géométrique de raison 1/2.

J'aurai donc pu écrire v_n = v₀ * (1/2)^n = (u₀- (2)) * (1/2)^n

Mais ça ne fonctionne pas.

J'ai donc essayer la récurrence pur et simple vu que la question précédente me permettait de valider une partie de l'inéquation mais je n'arrive pas à conclure.

Puisqu'il faut le déduire de la ou des questions précédentes je pense que c'est évident mais j'ai beau tourné le problème dans tous les sens j'ai l'impression que ça me passe sous le nez à chaque fois.

Si au moins je savais par quoi commencer !

Je remercie d'avance les gens qui prendront le temps de m'expliquer.

[__Blackjack__]

Personne ?

[Barbidoux]

u_n-√2≤(1/2)(u_n-1-√2)

comme

u_n-1-√2≤(1/2)(u_n-2-√2) ==>u_n-√2≤(1/2)^2*(u_n-2-√2)

en reproduisant ce raisonnement jusqu'à l'odre n

u_n-√2≤(1/2)^n*(u₀-√2)