DM sur les fonctions

[Joanna57]

Bonsoir, j'aimerais de l'aide pour mon DM de maths que je trouve assez complexe. Merci d'avance pour vos aides.

[Barbidoux]

Exercice 1

1--------------------------------

f(x)=x^2/(4-x^2)

Fonction paire f(x)=f(-x) ==> Graphe symétrique para rapport à l'axe des ordonnées

Définie sur R\{-2,2} (division par 0 impossible}

f(x) est le rapport de deux polynômes dérivables sur R\{-2,2} donc elle est dérivables sur R\{-2,2}

f'(x)=2*x/(4-x^2)-x^2(-2*x)/(4-x^2)^2=8*x/(4-x^2)^2

Lorsque x->+∞ alors f(x)=x^2/(4-x^2)≈ x^2/(-x^2)->-1 ==> asymptote horizontale d'équation y=-1

Lorsque x->-∞ alors f(x)=x^2/(4-x^2)≈ x^2/(-x^2)->-1 ==> asymptote horizontale d'équation y=-1

Lorsque x-> 2^+ alors f(x)=4/(0^-)= -∞ ==> asymptote verticale d'équation x=2

Lorsque x-> 2^- alors f(x)=4/(0^+)= ∞ ==> asymptote verticale d'équation x=2

Lorsque x-> -2^+ alors f(x)=4/(0^+)= ∞ ==> asymptote verticale d'équation x= -2

Lorsque x-> -2^- alors f(x)=4/(0^-)= -∞ ==> asymptote verticale d'équation x= -2

x..........-∞..........................(-2)..........................0.....................(2).......................∞

f'(x)...................(-).......................(-).................0.......(+).....................(+)..........

f(x).......-1.....decrois.... -∞ || ∞....decrois.....Max.....crois......∞ || -∞ .....crois.......-1

le minimum vaut f(0)=1/4

f(10)=-1.0416

f(100)=-1.004

f(1000):-1.0000

f(10000):-1.0000

f(100000):-1.0000

f(x) -> -1

---------------

x...........-∞................(-2)....................0..............(2).................∞

f(x).......-1.....decrois...||.....decrois..Max....crois..||.....crois.......-1

f(x)+1....0.....decrois...||.....decrois..Max1....crois..||.....crois.......0

Max1=1

f(10^9)=10^(18)/(4-10^(18))=-1.00000000

Résultat arrondi à la précision de la machine

f(x)≥-1 ==> x^2/(4-x^2) ≥-1 ==> x^2/(4-x^2) -1≥ 0 ==> 4/(4-x^2) ≥0 toujours vérifié pour x>2

Le graphe de f(x) est toujours en dessous de celui de y=-1 pour x appartenant à [2,∞[

[Joanna57]

Merci mais je n'arrive pas à obtenir le dernier tableau. pouvez-vous refaire ce dernier tableau ( pour f(x)+1 ) avec chaque case pour chaque étape ?

[Barbidoux]

Il y a quelques petites erreurs que tu as du rectifier je pense

Exercice 1

1--------------------------------

f(x)=x^2/(4-x^2)

Fonction paire f(x)=f(-x) ==> Graphe symétrique para rapport à l'axe des ordonnées

Définie sur R\{-2,2} (division par 0 impossible}

f(x) est le rapport de deux polynômes dérivables sur R\{-2,2} donc elle est dérivables sur R\{-2,2}

f'(x)=2*x/(4-x^2)-x^2(-2*x)/(4-x^2)^2=8*x/(4-x^2)^2

Lorsque x->+∞ alors f(x)=x^2/(4-x^2)≈ x^2/(-x^2)->-1 ==> asymptote horizontale d'équation y=-1

Lorsque x->-∞ alors f(x)=x^2/(4-x^2)≈ x^2/(-x^2)->-1 ==> asymptote horizontale d'équation y=-1

Lorsque x-> 2^+ alors f(x)=4/(0^-)= -∞ ==> asymptote verticale d'équation x=2

Lorsque x-> 2^- alors f(x)=4/(0^+)= ∞ ==> asymptote verticale d'équation x=2

Lorsque x-> -2^+ alors f(x)=4/(0^+)= ∞ ==> asymptote verticale d'équation x= -2

Lorsque x-> -2^- alors f(x)=4/(0^-)= -∞ ==> asymptote verticale d'équation x= -2

x..........-∞..........................(-2)..........................0.....................(2).......................∞

f'(x)...................(-).......................(-).................0.......(+).....................(+)..........

f(x).......-1.....decrois.... -∞ || ∞....decrois.....Min.....crois......∞ || -∞ .....crois.......-1

le minimum vaut f(0)=1/4

f(10)=-1.0416

f(100)=-1.004

f(1000):-1.0000

f(10000):-1.0000

f(100000):-1.0000

f(x) -> -1

---------------

x...........-∞................(-2)....................0..................(2).................∞

f(x).......-1.....decrois...||.....decrois..Min.......crois..||.....crois.......-1

f(x)+1.-1+1...decrois...||.....decrois..Min+1...crois..||.....crois.......-1+1

f(x)+1....0.....decrois...||.....decrois..Min1......crois..||.....crois.......0

Pour f(x)+1 le sens de variation d ela fonction reste inchangé. Seules les ordonnées des points remarquables sont augmentés d'une unité

Min1=Min+1=1/4+1=1.25

f(10^9)=10^(18)/(4-10^(18))=-1.00000000

Résultat arrondi à la précision de la machine

f(x)≥-1 ==> x^2/(4-x^2) ≥-1 ==> x^2/(4-x^2) -1≥ 0 ==> 4/(4-x^2) ≥0 toujours vérifié pour x>2

Le graphe de f(x) est toujours en dessous de celui de y=-1 pour x appartenant à [2,∞[

[Joanna57]

Je comprends mieux maintenant. Merci

Pour l'exercice 2, je bloque pour la deuxième question je ne sais plus comment étudier la position relative de la courbe

[Joanna57]

Je comprends mieux maintenant. Merci

Pour l'exercice 2, je bloque pour la deuxième question je ne sais plus comment étudier la position relative de la courbe

[pzorba75]

Pour étudier la position relative de deux courbes Cf et T représentant la fonction f et sa tangente dont une équation cartésienne est y=ax+b, tu étudies le signe de f(x)-(ax+b).

Si cette expression est positive, Cf sera au-dessus de T, si elle est nulle x sera l'abscisse du point de contact de Cf et T et si l'expression est négative alors Cf est sous la droite d'équation ax+b.

Je te laisse appliquer pour terminer cet exercice.