Exercices Nombre Complexes ( 1Ere)

[micka67690]

Voici mes exercices :

Exercice n °1 :

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( 0; vecteur u, vecteur v) d'unité graphique 2cm.

On considère les points A, B et C d'affixes respectives :

Z_A= i, Z_B = 2+3i et Z_c =(4+3i)/(1+2i).

1.a) Placer les points A et B.

b) Calculer la distance AB.

c) Montrer que Z_c = 2-i. Placer C.

d) Déterminer le module et un argument de Z_c - Z_A.

2. On apelle E l'ensemble des points M du plan dont l'affixe z vérifie | z- z_A|= 2 2

a) Montrer que B et C appartiennent à E.

b) Donner la nature et les caractéristiques de l'ensemble E et le construire sur la figure.

Exercice N°2 :

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( 0; vecteur u, vecteur v) d'unité graphique 1cm.

1. On considère l'équation z² -6z+25=0

a) Montrer que, pour tout nombre complexe z, on a :

(z-3+4i)(z-3-4i)=z²-6z+25

b) En déduire les solutions dans C de l'équation : z²-6z+25=0

On apelle Z_A la solution dont la partie imaginaire est positive et z_B l'autre solution.

2. On considère les points A,B,I,J et K d'affixes respectives Z_A,Z_B, Z_I= 1+i 3, Z_J= [ 2; 5 /6] et Z_K= -Z_J.

a) Montrer que les poitns A et B sont sur le cercle C de centre O et de rayon 5.

b) Déterminer la forme algèbrique de Z_J et de Z_K et une forme trigonométrique de Z_I.

c) Montrer que, I,J et K sont sur un cercle C' de centre O dont on précisera le rayon.

d) Représenter A,B,I,J et K et tracer les cercles C et C'.

3. On apelle E l'ensemble des points M du plan dont l'affixe z vérifie 2 |z| 5. Hachurer l'ensemble E sur le graphique précédent en expliquant la démarche suivie.

[Barbidoux]

Exercice n °1 :

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( 0; vecteur u, vecteur v) d'unité graphique 2cm.

On considère les points A, B et C d'affixes respectives :

zA= i, zB = 2+3i et zC =(4+3*i)/(1+2*i).

1.a) Placer les points A et B.

b) Calculer la distance AB.

|AB|=|zAB|=|zB-zA|=|2+2*i|=2*√2

c) Montrer que Zc = 2-i. Placer C.

zC =(4+3*i)/(1+2*i)= zC =(4+3*i)*(1-2*i)/((1+2*i)*(1-2*i))=(10-5*i)/5=2-i

d) Déterminer le module et un argument de zC - zA.

zC-zA=2-2*i=2*√2*(√2/2-i*√2/2)=2*√2*(cos(-π/3)+i*sin(-π/3)

|zC-zA|=2*√2

Arg(zC-zA)=-π/3

2. On apelle E l'ensemble des points M du plan dont l'affixe z vérifie | z- zA|= 2√2

a) Montrer que B et C appartiennent à E.

|zB-zC|=|2+2*i|=2*√3 et |zC-zA|=2*√2 donc B et C appartiennent à E

b) Donner la nature et les caractéristiques de l'ensemble E et le construire sur la figure.

E est le cercle de centre A{0,i} et de rayon 2√2

[micka67690]

Merci et pour l'exercice 2?

[Barbidoux]

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( 0; vecteur u, vecteur v) d'unité graphique 1cm.

1. On considère l'équation z² -6z+25=0

a) Montrer que, pour tout nombre complexe z, on a :

(z-3+4i)(z-3-4i)=z²-6z+25

il suffit de développer (z-3+4i)(z-3-4i)

b) En déduire les solutions dans C de l'équation : z²-6z+25=0

pour qu'un produit de facteur soit nul il faut et il suffit qu'un facteur le soit ==> z=-3+4*i et z=-3-4*i

On apelle Z_A la solution dont la partie imaginaire est positive et z_B l'autre solution.

zA=-3+4*i et zB=-3-4*i

2. On considère les points A,B,I,J et K d'affixes respectives Z_A,Z_B, Z_I= 1+i√3, Z_J= [ 2; 5π/6] et Z_K= -Z_J.

a) Montrer que les poitns A et B sont sur le cercle C de centre O et de rayon 5.

|zA|=|zB|=5 ==> A et B sont sur le cercle C de centre O et de rayon 5

b) Déterminer la forme algèbrique de Z_J et de Z_K et une forme trigonométrique de Z_I.

zJ=2*(cos(5*π/6)+i*sin(5*Pi/6))=2*(-√3/2+i/2)

zK= 2*(√3/2-i/2)

c) Montrer que, I,J et K sont sur un cercle C' de centre O dont on précisera le rayon.

|zI|=|zJ|=|zK|=2 ==> I,J et K sont sur un cercle C' de centre O de rayon 2.

d) Représenter A,B,I,J et K et tracer les cercles C et C'.

3. On apelle E l'ensemble des points M du plan dont l'affixe z vérifie 2≤ |z| ≤ 5. Hachurer l'ensemble E sur le graphique précédent en expliquant la démarche suivie.

|z|=2 ==> cercle de rayon 2 centré en O

|z|=5 ==> cercle de rayon 5 centré en O

2≤ |z| ≤ 5 ==> couronne circulaire d'épaisseur 3 incluant les cercles qui la délimitent

[Myworldfabulous]

Le 8 février 2012 at 11:50, Barbidoux a dit :

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( 0; vecteur u, vecteur v) d'unité graphique 1cm.

1. On considère l'équation z² -6z+25=0

a) Montrer que, pour tout nombre complexe z, on a :

(z-3+4i)(z-3-4i)=z²-6z+25

il suffit de développer (z-3+4i)(z-3-4i)

b) En déduire les solutions dans C de l'équation : z²-6z+25=0

pour qu'un produit de facteur soit nul il faut et il suffit qu'un facteur le soit ==> z=-3+4*i et z=-3-4*i

On apelle Z_A la solution dont la partie imaginaire est positive et z_B l'autre solution.

zA=-3+4*i et zB=-3-4*i

2. On considère les points A,B,I,J et K d'affixes respectives Z_A,Z_B, Z_I= 1+i√3, Z_J= [ 2; 5π/6] et Z_K= -Z_J.

a) Montrer que les poitns A et B sont sur le cercle C de centre O et de rayon 5.

|zA|=|zB|=5 ==> A et B sont sur le cercle C de centre O et de rayon 5

b) Déterminer la forme algèbrique de Z_J et de Z_K et une forme trigonométrique de Z_I.

zJ=2*(cos(5*π/6)+i*sin(5*Pi/6))=2*(-√3/2+i/2)

zK= 2*(√3/2-i/2)

c) Montrer que, I,J et K sont sur un cercle C' de centre O dont on précisera le rayon.

|zI|=|zJ|=|zK|=2 ==> I,J et K sont sur un cercle C' de centre O de rayon 2.

d) Représenter A,B,I,J et K et tracer les cercles C et C'.

3. On apelle E l'ensemble des points M du plan dont l'affixe z vérifie 2≤ |z| ≤ 5. Hachurer l'ensemble E sur le graphique précédent en expliquant la démarche suivie.

|z|=2 ==> cercle de rayon 2 centré en O

|z|=5 ==> cercle de rayon 5 centré en O

2≤ |z| ≤ 5 ==> couronne circulaire d'épaisseur 3 incluant les cercles qui la délimitent

Bonjour, j'ai le même exercice.. Et la question 2 à laquelle vous avez répondu je suis complètement perdus et je ne comprends pas vos réponses pourriez vous me les  expliquer 

Merci d'avance 

[Barbidoux]

zA=-3+4*i et zB=-3-4*i  

calcule les modules de ces deux complexes 

[Myworldfabulous]

Le 8 février 2016 at 16:13, Barbidoux a dit :

zA=-3+4*i et zB=-3-4*i  

calcule les modules de ces deux complexes 

Comment sa les modules ? 

[pzorba75]

z=a+ib a et b réels, |z|=sqrt(a^2+b^2) définition du cours.

[Myworldfabulous]

Mais il ne me semble pas et je viens de vérifié nous n'avons pas vu ceci en cours 

[pzorba75]

Si tu n'as pas vu la définition en cours, tu ne peux pas répondre à cette question.

[Myworldfabulous]

En faisant les modules  a zb je n'arrive pas à 5. J'ai un nombre négatif  donc impossible de faire une racine carré 

[pzorba75]

Reprends ton cours et apprends la définition du module d'un nombre complexe telle que je te l'avais donnée :

z=a+ib a et b réels, |z|=sqrt(a^2+b^2) définition du cours.

[Myworldfabulous]

Il y a 9 heures, pzorba75 a dit :

Reprends ton cours et apprends la définition du module d'un nombre complexe telle que je te l'avais donnée :

z=a+ib a et b réels, |z|=sqrt(a^2+b^2) définition du cours.

Donc cela nous donne  |zb|=sqrt(3^2+(-4)^2) = 5 ? 

[pzorba75]

Je prends ma calculatrice pour vérifier et sqrt(3^2+(-4)^2)=5. Magique!