Algorithme

[kikouuu]

Soit la suite U de terme général Un définie par U0=0 et, pour tout entier naturel n, par: U(n+1)= Un+2(n+1)

1) Calculer les 3 premiers termes de la suites Un (j'ai trouvé U1=2, U2=6, et U3=12)

2) Chacune des 3 propositions suivantes est-elle vraie ou fausse? justifier les réponses.

Proposition 1: La suite U est arithmétique. (je pense que c'est faux car U n'est pas sous la forme U(n+1)= Un+r

Proposition 2: Il existe au moins une valeur de n pour laquelle Un=n^2+1

Proposition 3: Pour toutes les valeurs de n, on a Un= n^2+1

3) On considère l'algorithme suivant:

Entrée: N un entier naturel non nul

Initialisation: P=0

Traitement: Pour K allant de 0 à N:

Affecter à P la valeur P+K

Afficher P

Fin de l'algorithme

(a) Faire fonctionner cet algorithme avec N=3.

Obtient-on à l'affichage les valeurs des 4 premiers termes de la suite U?

(b) Modifier cet algorithme de manière à obtenir à l'affichage les valeurs des N premiers termes de la suite U.

4) (a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un= n^2+n

[pzorba75]

Un petit coup de main, vite fait :

3) On considère l'algorithme suivant:

Entrée: N un entier naturel non nul

Initialisation: P=0

Traitement: Pour K allant de 0 à N:

Affecter à P la valeur P+K

Afficher P

Fin de l'algorithme

(a) Faire fonctionner cet algorithme avec N=3.

On obtient successivement l'affichage de 0, 1, 3 et 6.

Obtient-on à l'affichage les valeurs des 4 premiers termes de la suite U? NON

(b) Modifier cet algorithme de manière à obtenir à l'affichage les valeurs des N premiers termes de la suite U.

3) On considère l'algorithme suivant:

Entrée: N un entier naturel non nul

Initialisation: P=0

Traitement: Pour K allant de 0 à N:

Affecter à P la valeur P+2*K

Afficher P

Fin de l'algorithme

On obtiendra à l'affichage 0, 2 et 6

Récurrence : u_n=n^2+n avec u_n+1=u_n+2(n+1)

Initialisation : u₀=0 vrai, on admet alors u_n=n^2+n

Hérédité : u_n+1=n^2+n+2(n+1)=n^2+2n+1+n+1=(n+1)^2+n+1 vrai en n+1

Conclusion : u_n=n^2+n initialisée en 0, héréditaire, donc vrai pour tout n

A toi de rédiger tout cela correctement.

Au travail.

[Barbidoux]

Soit la suite U de terme général Un définie par U₀=0 et, pour tout entier naturel n, par: U_n+1= U_n+2(n+1)

1) Calculer les 3 premiers termes de la suites Un

U₁=2=2*(1+1)

U₂=6=2*(2+1)

U₃=12=3*(3+1)

On suppose que

U_n=n*(n+1)

comme

U_n=Un+2*(n+1)=n*(n+1)+2*(n+1)=(n+1)*(n+2)

La propriété étant héréditaire alors U_n=n*(n+1) quelque soit n

2) Chacune des 3 propositions suivantes est-elle vraie ou fausse? justifier les réponses.

Proposition 1: La suite U est arithmétique.

Non car U_n+1-U_n=2(n+1) ≠ d'une constante

Proposition 2: Il existe au moins une valeur de n pour laquelle Un=n^2+1

Vrai car U_n= n^2+1=n*(n+1) ==> n=1 et U_n=n^2+1 est vérifié pour n=1

Proposition 3: Pour toutes les valeurs de n, on a U_n= n^2+1

Faux car U_n=n*(n+1) ≠ n^2+1