marine.r Posté(e) le 21 décembre 2011 Signaler Posté(e) le 21 décembre 2011 Bonjour à tous J'ai besoin de votre aide pour mes deux derniers exercices ... Ex 1 : Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = ( -3x²+2x-3 ) / ( x²+1 ) Démontrer que, pour tout x € [-7; 7] on a : -4 =< f(x) =< -2 Ex 2 : un fabricant de produits alimentaires veut utiliser des boites de conserve pour conditionner ses produits . On suppose qu'une boite de conserve est un cylindre parfait de contenance 1 litre . Le fabricant cherche donc à déterminer les dimensions de la boite de conserve afin que : - le volume contenu soit de 1 litre exactement - la quantité de métal (supposée proportionnelle a l'aire totale du cylindre ) utilisée pour la fabriquer soit minimale . 1 - Soit r le rayon de la base du cylindre et h sa hauteur . Exprimer h en fonction de r . 2 - Établir que l'air totale du cylindre est donnée par : A® = 2 * pi * r² + ( 2/ r ) 3 - Étudier la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction A sur l'intervalle ]0; + inf [ 4 - En déduire les variations de la fonction A sur ]0; +inf[ Pour quelle valeur de r cette aire latérale est-elle minimale ? Montrer que, dans ce cas, on a h = 2r 5- Quelles doivent être, au millimètre près les dimensions de la boite de conserve (rayon de la base et hauteur) pour répondre aux contraintes fixées par le fabricant ? Merci beaucoup d'avance
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 21 décembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 21 décembre 2011 1----------- f(x)=(-3*x^2 + 2*x - 3)/(x^2 + 1) Lorsque x-> ∞ alors lim f(x)= lim -3*x^2/x^2=-3 Lorsque x->- ∞ alors lim f(x)= lim -3*x^2/x^2=-3 --------- f'(x)=(2 - 6*x)/(x^2+1)-(2*x*(-3 x^2+2*x-3))/(x^2+1)^2=-2 (x^2-1)/(x^2+1)^2=-2*(x+1)*(x-1)/(x^2+1)^2 x..........(-∞).......................(-1)........................(1)............................(∞) f'(x).......................(-)........Min.......(+)...........Max........(-)................... f(x).......(-3).......decrois..(-4)......crois.........(-2)....crois...............(-3) ---------- Conclusion -4<f(x) <-2
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 21 décembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 21 décembre 2011 Ex 2 : un fabricant de produits alimentaires veut utiliser des boites de conserve pour conditionner ses produits . On suppose qu'une boite de conserve est un cylindre parfait de contenance 1 litre . Le fabricant cherche donc à déterminer les dimensions de la boite de conserve afin que : - le volume contenu soit de 1 litre exactement - la quantité de métal (supposée proportionnelle a l'aire totale du cylindre ) utilisée pour la fabriquer soit minimale . 1 - Soit r le rayon de la base du cylindre et h sa hauteur . Exprimer h en fonction de r . V=Pi*r^2*h ==> h=V/(Pi*r^2) comme V=1 ==> h=1/(Pi*r^2) 2 - Établir que l'air totale du cylindre est donnée par : A( r) = 2 * pi * r² + ( 2/ r ) Aire totale=A( r)=aire base + aire couvercle + 2*aire latérale du cylindre=2*Pi*r^2+2*Pi*r*h A( r)=2*Pi*r^2+2*Pi*r/(Pi*r^2)=2*Pi*r^2+2/r 3 - Étudier la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction A sur l'intervalle ]0; + inf [ La fonction A( r) est dérivable si (A( r+a)-A( r))/a tend vers une limite finie lorsque a->0 (A( r+a)-A( r))/a=(2*Pi*(r+a)^2+2/(r+a)-2*Pi*r^2-2/r)/a=(2*Pi*(2*r*a+a^2)-h/(r*(r+a))/a=(2*Pi*(2*r+a)-2/(r*(r+a)) Lorsque h->0 alors (A( r+a)-A( r))/a -> 2*Pi*2*r-2/(r^2) qui est une limite finie si r 0. La fonction A( r) est donc dérivable sur R+ et A'( r)=4*Pi*r-2/(r^2) 4 - En déduire les variations de la fonction A sur ]0; +inf[ Pour quelle valeur de r cette aire latérale est-elle minimale ? Elle est minimale lorsque A'( r)=4*Pi*r-2/(r^2)=0 ==> r^3=1/(2*Pi) ==> r=(1/(2*Pi))^(1/3)=0.542 dm Montrer que, dans ce cas, on a h = 2r Dans ce cas A'( r)=4*Pi*r-2/(r^2)=0 ==> 2*r=1/(Pi*r^2)=h 5- Quelles doivent être, au millimètre près les dimensions de la boite de conserve (rayon de la base et hauteur) pour répondre aux contraintes fixées par le fabricant ? rayon base = 5.4 cm hauteur =10.8 cm
Santurions Posté(e) le 22 janvier 2012 Signaler Posté(e) le 22 janvier 2012 Coucou, apparement je n'étais pas le seul a avoir ce dm^^ Barbidoux en tous cas merci infiniement j'avais pas compris comment le 2/r et grâce a toi j'ai tous compris mais juste pour la dérivabilité j'ai pas fais aussi compliquer j'ai juste dit que c'était une fonction rationnel et don dérivable sur R* ^^ j'aimerais avoi ta comfirmattion (juste u cas où) et encoe merci beaucoup
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 22 janvier 2012 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 janvier 2012 Oui on aurait pu utiliser le théorème suivant : u et v sont deux fonctions dérivables en x. On suppose également que v(x) est non nul. Si ces trois conditions sont vérifiées alors la fonction u/v est dérivable en x.
phoenixfire Posté(e) le 29 janvier 2013 Signaler Posté(e) le 29 janvier 2013 Bonjour, j'ai juste une petite question concernant la question 2 du 2ème exercice: quand tu marques ceci 2*Pi*r^2+2*Pi*r*h A( r)=2*Pi*r^2+2*Pi*r/(Pi*r^2 où est passé le h ???
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 30 janvier 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 30 janvier 2013 Bonjour, j'ai juste une petite question concernant la question 2 du 2ème exercice: quand tu marques ceci 2*Pi*r^2+2*Pi*r*h A( r)=2*Pi*r^2+2*Pi*r/(Pi*r^2 où est passé le h ???
venenum Posté(e) le 27 avril 2014 Signaler Posté(e) le 27 avril 2014 Bonjour Barbidoux J'aimerai vous posez une question .. Comment, dans la question 4 "montrer, qua dans ce cas, on a h=2r" vous arrivez à passer de A'®= (4*pi*r-2)/r² à 2r=1/(pi*r²)=h ?? Est ce que vous pourriez développer un peu plus, s'il vous plait ?! Merci d'avance, bonne journée !
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 27 avril 2014 E-Bahut Signaler Posté(e) le 27 avril 2014 A'( r)=4*Pi*r-2/(r^2)=0 ==> (4*Pi*r^3-2)/(r^2)=0 ==> 4*Pi*r^3-2=0 ==> r^3=1/(2*π) ==> r=(1/(2*π))^(1/3)
venenum Posté(e) le 27 avril 2014 Signaler Posté(e) le 27 avril 2014 Ah oui d'accord !! Merci beaucoup Barbidoux !
clem2830 Posté(e) le 6 mars 2015 Signaler Posté(e) le 6 mars 2015 J'ai fait toutes les questions sauf la 4 et la 5, en effet je ne comprends pas comment établir le tableau de variations. Lorsque je le fais ma fonction est croissante sur 1/2Pi et +infinie ... Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?
E-Bahut pzorba75 Posté(e) le 7 mars 2015 E-Bahut Signaler Posté(e) le 7 mars 2015 Commence ton message en étant polie, tu réduis tes chances en te limitant à donner des ordres.
clem2830 Posté(e) le 7 mars 2015 Signaler Posté(e) le 7 mars 2015 Et bien je crois avoir été assez polie maintenant s'il faut se mettre à genoux pour avoir de l'aide c'est une chose que je ne ferais pas. Si cela vous déranges à ce point je peux aller voir ailleurs... C'est la première fois que je m'inscris sur un site d'aide aux devoirs, moi qui pensais avoir choisis le bon... je crois que c'est raté. Encore merci !
E-Bahut pzorba75 Posté(e) le 7 mars 2015 E-Bahut Signaler Posté(e) le 7 mars 2015 Tu as tout compris.
camouille2 Posté(e) le 25 avril 2015 Signaler Posté(e) le 25 avril 2015 Bonjour a tous, j'ai l'impression que se DM existe encore aujourd'hui J'ai un problème pour la question 5 de l'exercice 2 je ne comprend pas comment vous faite pour trouver ces résultats si vous pourriez developer un peu plus....... Merci d'avance !!
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 25 avril 2015 E-Bahut Signaler Posté(e) le 25 avril 2015 Il te suffit de regarder les résultats des deux questions précédentes 4 - En déduire les variations de la fonction A sur ]0; +inf[ Pour quelle valeur de r cette aire latérale est-elle minimale ?Elle est minimale lorsque A'( r)=4*Pi*r-2/(r^2)=0 ==> r^3=1/(2*Pi) ==> r=(1/(2*Pi))^(1/3)=0.542 dm Montrer que, dans ce cas, on a h = 2r Dans ce cas A'( r)=4*Pi*r-2/(r^2)=0 ==> 2*r=1/(Pi*r^2)=h 5- Quelles doivent être, au millimètre près les dimensions de la boite de conserve (rayon de la base et hauteur) pour répondre aux contraintes fixées par le fabricant ? rayon base r= 5.4 cm hauteur h=2*r=10.8 cm
camouille2 Posté(e) le 25 avril 2015 Signaler Posté(e) le 25 avril 2015 Super !!!!!! Merci beaucoup !!!!
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