Court Calcule Avec Ln

[Tibo54]

Bonjour,j'ai un exo à faire et je bloque sur plusieurs question.(Vers la fin de l'exo).Merci d'avance pour votre aide,voilà sur quoi je bloque:

On sait que f(x)=x ln (1+(1/x²)) si x>0.J'ai trouvé précedemment à l'aide des autres questions la dérivée de f(x) et j'obtient:f'(x)=ln(1+(1/x²))-(2/(x²+1))

3)Etude de f en 0

a)Montrer que pour x>0, f(x)=x ln (x²+1)-2x ln x

Là j'arrive à x ln (x²+1)-2x ln x=x(ln (x²+1) - 2 ln x)

Et je ne vois pas très bien comment arriver à x ln (1+(1/x²))

b)Montrer que f est continue en 0

c)Etudier la dérivabilité de f en 0.Préciser la tangente à la courbe C au point O.

[pzorba75]

f(x)=x ln (1+(1/x²)) si x>0

f(x=x*ln((x^2+1)/x^2)=x*ln(x^2+1)-x*ln(x^2)=x*ln(x^2+1)-2x*ln(x)

[Barbidoux]

Bonjour,j'ai un exo à faire et je bloque sur plusieurs question.(Vers la fin de l'exo).Merci d'avance pour votre aide,voilà sur quoi je bloque:

On sait que f(x)=x ln (1+(1/x²)) si x>0.J'ai trouvé précedemment à l'aide des autres questions la dérivée de f(x) et j'obtient:f'(x)=ln(1+(1/x²))-(2/(x²+1))

3)Etude de f en 0

a)Montrer que pour x>0, f(x)=x ln (x²+1)-2x ln x

Là j'arrive à x ln (x²+1)-2x ln x=x(ln (x²+1) - 2 ln x)

Et je ne vois pas très bien comment arriver à x ln (1+(1/x²))

f(x)=x*ln(1+(1/x^2)) =x*(ln((x^2+1)/x^2)=x*(ln(x^2+1)-ln(x^2))=x*(ln(x^2+1)-2*ln(x))=x*ln(x^2+1)-2*x*ln(x)

b)Montrer que f est continue en 0

On sait que x^n*ln(x) -> 0 lorsque x->0

donc lorsque x-> 0⁺ alors lim f(x)=x*(ln(x^2+1)-2*ln(x))=x*(ln(1)-2*ln(x))=0⁺-0⁺ ->0

De même lorsque x-> 0^- alors lim f(x)=x*(ln(x^2+1)-2*ln(x))=x*(ln(1)-2*ln(x))=0^--0^- ->0

Les limites droite et gauche de f(x) étant les même on ^peut donc en déduire que la fonction f(x) est continue en x=0

c)Etudier la dérivabilité de f en 0.Préciser la tangente à la courbe C au point O.