Une Fonction

[Tibo54]

Bonsoir ou bonjour à tous.J'ai un exercice sur lequel je bloque (2 questions sur 5) mais dont j'aimerai aussi qu'on verifie mes réponses pour celles que je pense avoir réussie.Merci d'avance pour votre aide

On considère la fonction f définie par:f(x)=(x^4-3x²-4)/(x^3-x)

On note © la représentation graphique de f dans un repère (O;i;j).

1)Préciser le domaine de définition D de f puis prouver que le point O est un centre de symétrie de ©.

J'ai trouvé D=]-oo;0[ U ]0;1[ U ]1;+oo[

Ensuite j'ai dis que D est symétrique par rapport à 0(je ne sais pas s'il faut vraiment le prouver...)

J'ai calculé ensuite (f(0+h)+f(0-h))/2 puis j'arrive à (1/2)x(0/(h^3-h))=0

Donc (f(a+h)+f(a-h))/2=b (avec a=0 et b=0 les coordonnées du point O) donc O centre de symétrie de ©

2)Déterminer les pts d'intersection de © avec l'axe (O;i)

Aucune idée de comment faire

3)Etudier les limites aux bornes de D'=]0;11;+oo[.Justifier les résultats.

j'ai trouvé : lim f(x)=-oo (quand x tend vers 0+)

lim f(x)=-oo (quand x tend vers 1-)

lim f(x)=+oo (quand x tend vers 1+)

lim f(x)=lim x^4/x^3=0+ (quand x tend vers +oo)

4)Déterminer les réels a,b et c tels que,pour tt x de D,f(x)=ax+(bx/x²-1)+(c/x).Prouver que © admet une asymptote oblique Delta.Etudier la position de © par rapport à Delta.

j'ai trouvé a=1 , -a+b+c=-3 , -c=-4 d'où a=1 , b=-8 , c=4 .On a donc f(x)=x+(-8x)/(x²-1)+(4)/(x)

lim f(x)-(ax+b)=0 (quand x tend vers + ou - oo) donc © admet asymp.obliq Delta d'équation y=x-(8x)/(x²-1)

pour x dans ]-oo;0[, f(x)-(ax+b)<0 donc © en dessous de Delta et pour x dans ]0;11;+oo[, f(x)-(ax+b)>0 donc C au-dessus de Delta.

5)a)Déterminer la fct° dérivée f' de f.

J'arriver à ça et je vois pas trop comment continuer :f'(x)=(4x^6-3x^5-11x^4-9x^3+9x²-4)/(x^3-x)²

b)Montrer que l'équation t^3+15t-4=0 admet une solution unique dans R notée Alpha.Jutifier que Alpha est dans ]0;1[.En déduire le signe de h(t)=t^3+15t-4 sur R.

c) En utilisant la question précédente,étudier les variations de f sur D'.Dresser le tableau de variation de f sur D'.

[pzorba75]

On considère la fonction f définie par:f(x)=(x^4-3x²-4)/(x^3-x)

On note © la représentation graphique de f dans un repère (O;i;j).

1)Préciser le domaine de définition D de f puis prouver que le point O est un centre de symétrie de ©.

J'ai trouvé D=]-oo;0[ U ]0;1[ U ]1;+oo[

Correct

Ensuite j'ai dis que D est symétrique par rapport à 0(je ne sais pas s'il faut vraiment le prouver...)

J'ai calculé ensuite (f(0+h)+f(0-h))/2 puis j'arrive à (1/2)x(0/(h^3-h))=0

Donc (f(a+h)+f(a-h))/2=b (avec a=0 et b=0 les coordonnées du point O) donc O centre de symétrie de ©

Correct

2)Déterminer les pts d'intersection de © avec l'axe (O;i)

Aucune idée de comment faire

Faire f(x)=0 soit x^4-3x^2-4=0 poser X=x X^2-3X-4=0 Delta=(-3)^2-4*(-4)=25=5^2 X=(3+5)/2=4 x=-2 et x=2 X=(3-5)/2=-1 n'a pas de sens pour X=x^2

C-f coupe l'axe des abscisses en -2 et +2

3)Etudier les limites aux bornes de D'=]0;11;+oo[.Justifier les résultats.

j'ai trouvé : lim f(x)=+infy (quand x tend vers 0+)

lim f(x)=+infyoo (quand x tend vers 1-)

lim f(x)=-infy(quand x tend vers 1+)

lim f(x)=lim x^4/x^3=+infy (quand x tend vers +oo)

4)Déterminer les réels a,b et c tels que,pour tt x de D,f(x)=ax+(bx/x²-1)+(c/x).Prouver que © admet une asymptote oblique Delta.Etudier la position de © par rapport à Delta.

j'ai trouvé a=1 correct donc y=x=asymptote en +infy et -infy , -a+b+c=-3 , -c=-4 d'où a=1 , b=-8 , c=4 .On a donc f(x)=x+(-8x)/(x²-1)+(4)/(x)

lim f(x)-(ax+b)=0 (quand x tend vers + ou - oo) donc © admet asymp.obliq Delta d'équation y=x-(8x)/(x²-1)

pour x dans ]-oo;0[, f(x)-(ax+b)<0 donc © en dessous de Delta et pour x dans ]0;11;+oo[, f(x)-(ax+b)>0 donc C au-dessus de Delta.

5)a)Déterminer la fct° dérivée f' de f.

f=u/v f'=(u'v-uv')/v^2 avec u=x^4-3x^2-4 u'=4x^3-6x v=x^3-x v'=3x^2-1 f'=......

J'arriver à ça et je vois pas trop comment continuer :f'(x)=(4x^6-3x^5-11x^4-9x^3+9x²-4)/(x^3-x)²

b)Montrer que l'équation t^3+15t-4=0 admet une solution unique dans R notée Alpha

Etudier la fonction h(t)=t^3+15t-4 définie sur R, dérivable h'(t)=3t^2+15 g'>0 sur R donc h croissante h(0)=-4 h(1)=1+15-4=12

donc g coupe l'axe des x entre 0 et 1 (th. des valeurs intermédiaires! h(0)*h(1)<0=> 0<alpha<1)

.Jutifier que Alpha est dans ]0;1[.En déduire le signe de h(t)=t^3+15t-4 sur R.

c) En utilisant la question précédente,étudier les variations de f sur D'.Dresser le tableau de variation de f sur D'.

Au travail. Il n'ya plus de difficulté pour mettre tout cet exercice au prope.

[Barbidoux]

En complément Zorba

1) 1)Préciser le domaine de définition D de f puis prouver que le point O est un centre de symétrie de C.

Domaine de définition R\{0,-1,1} (valeurs annulant le dénominateur)

f(-x)=-f(x) ==> fonction impaire donc symétrique par rapport à l'origine {0,0}

[Tibo54]

Merci pour vos reponses

Pour la 1),puis-je ecrire ]-oo ; -1 [ U ]-1 ; 0 [ U ]0 ; 1 [ U ]1 ; +oo [

?

[Barbidoux]

Oui, tu peux aussi donner l'intervalle de définition sous la forme R\{-1, 0, 1}

[Tibo54]

3)Etudier les limites aux bornes de D'=]0;11;+oo[.Justifier les résultats.

j'ai trouvé : lim f(x)=+infy (quand x tend vers 0+)

lim f(x)=+infyoo (quand x tend vers 1-)

lim f(x)=-infy(quand x tend vers 1+)

lim f(x)=lim x^4/x^3=+infy (quand x tend vers +oo)

[Barbidoux]

f(x)=(x^4 - 3 x^2 - 4)/(x^3 - x)=(x^4 - 3 x^2 - 4)/(x*(x-1)*(x+1))

----------------------

Lorsque x -> ∞ alors f(x)≈ x^4/x^3=x et f(x) -> - ∞ lorsque x-> -∞ et f(x) -> ∞ lorsque x -> ∞

---------------------

Lorsque x -> 0 alors f(x)= -4/(0*(-1)) = 1/0 et f(x) -> + ∞ lorsque x-> 0^+ et f(x) -> - ∞ lorsque x -> 0^-

---------------------

Lorsque x -> -1^- alors f(x)= -6/(-1*(-2)*0^+)et f(x) -> - ∞

Lorsque x -> -1^+ alors f(x)= -6/(-1*(-2)*0^-)et f(x) -> ∞

---------------------

Lorsque x -> 1^- alors f(x)= -6/(1*(2)*0^-)et f(x) -> ∞

Lorsque x -> -1^+ alors f(x)= -6/(1*(2)*0^+)et f(x) -> - ∞

[Tibo54]

Merci à vous !