derbyt Posté(e) le 17 septembre 2011 Signaler Posté(e) le 17 septembre 2011 Bonjour, j'ai encore un devoir maison pour lundi et je bloque toujours sur le raisonnement par récurrence, l'énoncé de mon exercice est : soit N appartenant à N*. Prouver que 3^n>(ou égal) n²+2n. Notre professeur nous a dit d'utiliser la même méthode qu'un des exemples fait en cours. J'ai donc fait au brouillon: On pose P(n)="3^n>(ou égal) n²+2n Initialisation : 3^1 = 3 et 3²+2*1=11 donc P(1) est vraie. Hérédité: On suppose que P(k) marche donc: 3^k>(ou égal) k²+2k Il faut maintenant prouver que P(k+1) est vraie. 3^k+1>(ou égal) (k+1)²+2(k+1) Aprés j'ai fait comme dans l'exemple de la leçon c'est à dire que j'ai dit: On a 3^k>(ou égal) k²+2k pour tout n appartenant à N* par produit on trouve 3^k+1>(ou égal) 3k²+6k Ensuite d'aprés ce que j'ai compris de mon exemple il faut dire que 3k²+6k>(ou égal) (k+1)²+2(k+1) donc 3^k+1>(ou égal) (k+1)²+2(k+1). Seul souçis je ne comprends pas comment il a trouvé que 3k²+6k>(ou égal) (k+1)²+2(k+1), à partir de 3^n>(ou égal) n²+2n ? Merci beaucoup
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 17 septembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 17 septembre 2011 n appartenant à N* on veut démontrer que : P(n)=3n n2+2*n La relation est vérifiée à l'ordre 1 car 3=3 La relation est vérifiée à l'ordre 2 car 9> 8 La relation est vérifiée à l'ordre 3 car 27 >15 On la suppose héréditaire à l'ordre à l'ordre n 3n n2+2*n et l'on va démontrer qu'elle reste vraie à l'ordre n+1. Ce qui la rendrait vérifiée quelque soit n 3*3n =3n+1 3*n2+3*2*n =3*n2+6*n Il faut donc démontrer que 3*n2+6*n (n+1)2+2*(n+1)=n^2+4*n+3 soit que 2*n2+2*n 3 n2+n 3/2 n2+n+1/4 3/2+1/4 (n+1/2)2 7/4 Cette dernière inégalité étant vérifiée pour tout n >=1 on en déduit que 3*n^2+6*n (n+1)2+2*(n+1) et que 3n+1 (n+1)2+2*(n+1) ce qui démontre que la relation P(n)=3n n2+2*n est valide pour tout n appartenant à N*
derbyt Posté(e) le 18 septembre 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 18 septembre 2011 Je n'ai pas bien compris pourquoi on ajoute 1/4 à la quatrième ligne et en quoi (n+1/2)²>7/4 pouvez vous m'expliquer plus précisement ce point là merci beaucoup
E-Bahut pzorba75 Posté(e) le 18 septembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 18 septembre 2011 En ajoutant 1/4 à chaque terme de l'inéquation, Barbidoux, toujours rusé comme un sioux, fait apparaître une identité remarquable intéressante pour la suite.
derbyt Posté(e) le 18 septembre 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 18 septembre 2011 Je ne doute pas de la réponse seulement je ne comprends pas en quoi l'identité nous aide à résoudre l'inéquation. Je voudrai juste comprendre avant de le faire dans mon devoir maison.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 19 septembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 19 septembre 2011 Compléments .... -------------------------------------------- On la suppose héréditaire à l'ordre à l'ordre n 3n n2+2*n et l'on va démontrer qu'elle reste vraie à l'ordre n+1. Ce qui la rendrait vérifiée quelque soit n ------------------- il faut démontrer que: 3n+1 (n+1)2+2*(n+1) ------------------- Comme 3n+1=3*3n =3n+1 3*n2+3*2*n =3*n2+6*n si l'on démontre que 3*n2+6*n (n+1)2+2*(n+1) alors 3n+1 3*n2+3*2*n (n+1)2+2*(n+1) ==> 3n+1 (n+1)2+2*(n+1) et la démonstration est terminée. --------------------- Il faut donc démontrer que 3*n2+6*n (n+1)2+2*(n+1)=n^2+4*n+3 soit que 2*n2+2*n 3 n2+n 3/2 On fait apparaître l'identité remarquable (n+1/2)^2 n2+n+1/4 3/2+1/4 (n+1/2)2 7/4 Cette dernière inégalité étant vérifiée pour tout n >=1 on en déduit que 3*n^2+6*n (n+1)2+2*(n+1) donc que 3n+1 (n+1)2+2*(n+1) ce qui démontre que la relation P(n)=3n n2+2*n est héréditaire donc valide pour tout n appartenant à N*
Messages recommandés
Archivé
Ce sujet est désormais archivé et ne peut plus recevoir de nouvelles réponses.