Exercices Complexes (Dans Les Deux Sens Du Termes)

namoureuse · le 20 décembre 2010

Bonjours tous le monde =D

J'ai deux exercices que je commence à bloquer dessus et j'aimerais si vous le pouvez que vous me donniez une correction de ces deux exercices j'ai réussi a prendre un ordinateur mais je ne suis pas chez moi jusqu'à la fin de la semaine donc j'ai toute la semaine pour y arriver et je viendrai voire votre correction que à la fin de la semaine

voici mon sujet:

Exo n°1 :

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O,u,v), unité graphique 2cm, on fera une figure au fur et a mesure.

Soient A(i) B(-2i) D(1) et E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct.

Soit f l'application qui à tout point M d'affixe z(z différent de i) associe le point M ' d'affixe z' définie par z'= (2z-i)/(iz+1)

1) Démontrer que le point E a pour affixe (1/2+(racine3)/2)(1+i)

pour cela on admettra que ADE est un triangle équilatéral direct équivaut a : ze-za=(1/2+i racine3 /2)(zd-za)

2)Exprimer sous forme algébrique l'affixe du point D' assicié au point D par f

3)a- Démontrer que pour tout complexe zdifférent de i, on a

(z' +2i)'z-i) =1

b- En déduire que pour tout point M d'affixe z (z différent de i)

BM ' *AM=1 et ( vecteur u, vecteur BM')= - (vect. u, vect. AM)+2k pi ou k appartient à Z

4) a- Démontrer que les point D et E appartienne au cercle C de centre A et de rayon racine2

b- En utilisant les résultats de la question 3)b-, placer le point E' associé au point E par f (laisser apparaitre les traits de construction)

5) Quelle est la nature du triangle BD'E' ? (justifier)

Exo n°2:

On considère les points A B C d'affixe respectives (unité 2cm)

a= -3/2+ i racine3 /2

b= a barre

c=-3

partie A:

1) Ecrire a et b sous forme exponentielle

2) Placer les points A B et C

3) Démontrer que le triangle ABC est équilatéral

Partie B:

Soit f l'application, qui a tout point M, d'affixe z, associe le point M' d'affixe z'= 1/3iz²

On note O', A' B' et C' les points respectivement associé aux points O A B et C

1) a- Déterminer la forme exopentielle des affixes A' B' et C' placer ces points

b-Démontrer que les points O A et B' sont alignés, puis que les point O B et A' sont aligné

c- Soit G l'isobarycentre des points O A B et C. On note G' le point associé a G par f

Déterminer les affixes des points G et G'

Le point G' est-il l'isibarycentre des points O' A' B' et C'?

2) Démontrer que si M appartient a (AB) alors M' appartient a la parabole d'équation:

y= -1/3x²+3/4

Voilà j'espère que vous pourrez m'aider et puis j'ai encore une semaine pour réussir a en faire un maximum

Merci d'avance

Barbidoux · le 20 décembre 2010

Voilà pour l'exo 1.... /applications/core/interface/file/attachment.php?id=7641">Exo1.pdf

/applications/core/interface/file/attachment.php?id=7641">Exo1.pdf

Exo1.pdf

namoureuse · le 26 décembre 2010

bonjour !!!

je vous remercie pour cette exercice

j'ai même réussi a commencer le second a par quelques petit questions ^^

merci beaucoup et joyeux noël =D

Barbidoux · le 26 décembre 2010

Exo n°2:

On considère les points A B C d'affixe respectives (unité 2cm)

a= -3/2+ i √3 /2

b= a barre

c=-3

partie A:

1) Ecrire a et b sous forme exponentielle

a=-3/2+ i √3 /2=-√3(√3/2-i/2)=-√3 exp(-i*Pi/6)

b=a barre= -√3(√3/2+i/2)=-√3 exp(i*Pi/6)

2) Placer les points A B et C

3) Démontrer que le triangle ABC est équilatéral

|AB|=|b-a|=|-3/2- i √3 /2-(-3/2+ i √3 /2)|=|2i√3|=√3

|CA|=|b-a|=|3+3/2- i √3 /2-|=√3

|CB|=|b-a|=|3-3/2+ i √3 /2-|=√3

|AB|= |CA| =|CB|==> le triangle ABC est équilatéral

et pour la suite z'= 1/3iz^2=iz^2/3 ou bien z’=1/(3iz^2) ??

namoureuse · le 27 décembre 2010

pour une fois j'ai tout bon mais pour la partie B c'est la que sa bloque xD

pour z' c sa

z'= 1/3iz^2=iz^2/3

voila ^^

Barbidoux · le 28 décembre 2010

partie A:

1) Ecrire a et b sous forme exponentielle

a=-3/2+ i √3 /2=-√3(√3/2-i/2)=-√3 exp(i*5*Pi/6)

b=a barre= -√3(√3/2+i/2)=√3 exp(i*7*Pi/6)

2) Placer les points A B et C

3) Démontrer que le triangle ABC est équilatéral

|AB|=|b-a|=|-3/2- i √3 /2-(-3/2+ i √3 /2)|=|2i√3|=√3

|CA|=|b-a|=|3+3/2- i √3 /2-|=√3

|CB|=|b-a|=|3-3/2+ i √3 /2-|=√3

|AB|= |CA| =|CB|==> le triangle ABC est équilatéral

Partie B:

Soit f l'application, qui a tout point M, d'affixe z, associe le point M' d'affixe z'= iz^2/3 On note O', A' B' et C' les points respectivement associé aux points O A B et C

1) a- Déterminer la forme exponentielle des affixes A' B' et C' placer ces points

zA'=i*(ZA)2/3=exp(i*Pi/2)* (exp(i*5*Pi/6))2=exp(i*13*Pi/6)=exp(i*Pi/6)=(√3/2+i/2)

zB'=i*(ZB)2/3=exp(i*Pi/2)* (exp(i*7*Pi/6))2=exp(i*14*Pi/6)=exp(i*5*Pi/6)=-√3/2+i/2

b-Démontrer que les points O A et B' sont alignés, puis que les point O B et A' sont aligné

Les affixes des vecteurs OA et OB' ayant des arguments qui diffèrent de Pi les points O,A et B' sont alignés.

De même des vecteurs OB et OA' ayant même argument (exp(i*5*Pi/6)) les points O,B et A' sont alignés.

c- Soit G l'isobarycentre des points O A B et C. On note G' le point associé a G par f. Déterminer les affixes des points G et G'

-------------------

G l'isobarycentre des points O A B et C ==> GO+GA+GB+GC=0

Soit N l'isobarycentre de O A et B,

Dans un triangle l'isobarycentre des sommets est le centre de gravité du triangle, point de concours des médianes. Il est situé au 2/3 de la longueur de chaque médiane en partant du sommet. En conséquence les points A et B étant conjugués donc symétriques par rapport à ox l'affixe de l'isobarycentre des points OAB N vaut ZN=-1

De la relation GN+NO+GN+NA+GN+NB+GC=0 ==> 3*GN+GC=0 =>3*(ZN-ZG)+(ZC-ZG)=0 ==>4*ZG= 3*ZN-ZC=-6 ==> ZG=3/2==> ZG'=3*i/4

--------------------

zC'=3*i

O' et O sont confondus, soit K l'isobarycentre de O' A' et B' et C' ==> KO+KA'+KB'+KC'=0

Soit N' l'isobarycentre de O A' et B'. L'affixe du milieu de A'B' vaut i/2. L'affixe du centre de gravité N' de ce triangle est situé au 2/3 de cet affixe vaut i/3, il est le transformé par f(x) de zN ==> zN'=i* (zN)2/3=i/3

De la relation KN'+N'O'+KN'+N'A'+KN'+N'B'+KC'=0 ==> 3*KN'+KC'=0 on déduit que ==>3*KN'+KC'=0 =>3*(ZN'-ZK)+(ZC'-ZK)=0 ==>4*ZK= 3*ZN'-ZC'=i+3*i=4*i ==> ZK=i

Le point G' est-il l'isobarycentre des points O' A' B' et C'?

Le point G' n'est pas l'isobarycentre des points O' A' B' et C'.

2) Démontrer que si M appartient a (AB) alors M' appartient a la parabole d'équation: y= -1/3x^2+3/4

Si M appartient à AB alors A et B étant congjugués la partie réelle de M vaut 3/2 et zM=3/2+i*k. Le lieu de M' transformé de M par f est dponc tel que zM'=i*(3/2+i*k)^2/3=i*(9/4-k^2-3*i*k)/3=-k+(3/4-k^2/3)*i. En posant x=k l'ordonnée de zM' s'exprime selon y=(3/4-x^2/3) qui est la parabole que décrit M' lorsque M se déplace sur AB.

Tout cela est à vérifier, bien sur ....

namoureuse · le 28 décembre 2010

Exo n°2:

On considère les points A B C d'affixe respectives (unité 2cm)

a= -3/2+ i √3 /2

b= a barre

c=-3

partie A:

1) Ecrire a et b sous forme exponentielle

a=-3/2+ i √3 /2=-√3(√3/2-i/2)=-√3 exp(-i*Pi/6)

b=a barre= -√3(√3/2+i/2)=-√3 exp(i*Pi/6)

2) Placer les points A B et C

3) Démontrer que le triangle ABC est équilatéral

|AB|=|b-a|=|-3/2- i √3 /2-(-3/2+ i √3 /2)|=|2i√3|=√3

|CA|=|b-a|=|3+3/2- i √3 /2-|=√3

|CB|=|b-a|=|3-3/2+ i √3 /2-|=√3

|AB|= |CA| =|CB|==> le triangle ABC est équilatéral

et pour la suite z'= 1/3iz^2=iz^2/3 ou bien z’=1/(3iz^2) ??

Barbidoux · le 28 décembre 2010

Oui je n'ai pas terminé le calcul ....

1) Ecrire a et b sous forme exponentielle

a=-3/2+ i √3 /2=-√3(√3/2-i/2)=-√3 exp(-i*Pi/6)=√3 exp(i*Pi)exp(-i*Pi/6)= √3 exp(5*i*Pi/6)

b=a barre= -√3(√3/2+i/2)=-√3 exp(i*Pi/6)=√3 exp(i*Pi)exp(i*Pi/6)= √3 exp(7*i*Pi/6)

Si il y a des choses que tu ne comprends pas n'hésite pas à me poser des questions, certes en math je me débrouille mais ce n’est pas ma spécialité et mes souvenir ont quarante cinq ans d'âge alors je suis quand même un peu rouillé par manque de pratique et il m’arrive de commettre des erreurs... ma mémoire n'étant pas infaillible ...

namoureuse · le 28 décembre 2010

merci beaucoup ^^

en faite j'ai presque tout réussi ^^

merci beaucoup pour votre aide

namoureuse · le 28 décembre 2010

en faite j'ai un petit problème pour la partie B de l'exo 2 petit c pour l'isobarycentre

j'ai sa moi

zG= 1/3 (zA+zB+zC)

en remplaçant je trouve zG= -2 avec cete formule la vu en cours

et vous vous avez 3/2 pour zG .

Barbidoux · le 28 décembre 2010

en faite j'ai un petit problème pour la partie B de l'exo 2 petit c pour l'isobarycentre

j'ai sa moi

zG= 1/3 (zA+zB+zC)

en remplaçant je trouve zG= -2 avec cete formule la vu en cours

et vous vous avez 3/2 pour zG .

namoureuse · le 28 décembre 2010

en faite j'ai un petit problème pour la partie B de l'exo 2 petit c pour l'isobarycentre

j'ai sa moi

zG= 1/3 (zA+zB+zC)

en remplaçant je trouve zG= -2 avec cete formule la vu en cours

et vous vous avez 3/2 pour zG .

Barbidoux · le 28 décembre 2010

Je partagerais ce point de vue si l'on recherchait l'isobarycentre des points A, B et C, mais là on recherche l'isobarycentre de O A, B et C, et je pencherais plutôt pour une formule de type zG=(1/4)*(zA+zB+zC) .... Non ???

euh oui biensur mais comme zO =0 sa ne fai plus que trois points

CpCharles · le 9 mars 2012

Bonjour,

Je ressors ce sujet ...

Dans l'exercice 1 il me semble avoir vue une erreur ...

-1² est-il égal à 1 ou à -1 ?

pzorba75 · le 9 mars 2012

Dans l'exercice 1 il me semble avoir vue une erreur ...

-1² est-il égal à 1 ou à -1 ?

-1^2=-(1)^2=-1

et

(-1)^2=(-1)*(-1)=1

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