namoureuse Posté(e) le 21 septembre 2010 Signaler Posté(e) le 21 septembre 2010 bonsoir je vient de terminer en partie mon second DM de l'année et j'aimerais savoir si je n'est pas fait de grosse fautes et si vous pouviez m'aider pour les questions où je suis bloqué. Merci d'avance . Le sujet le voici: 1) encadrer la fonction f(x)=(x+sin x)/(x²+3) et déterminer la limite en +oo -1<sin x < 1 = -1+x< x+sin x < 1+x = (-1+x)/(x²+3) < (x+sin x)/(x²+3) <(1+x)/(x²+3) lim quand x tend vers +oo (x-1)/(x²+3) =lim 1/x = 0 ------------------------------------(x+1)/(x²+3)=lim 1/x =0 Donc d'aprés le théorème des gendarmes lim f(x)=0 2)Déterminer la limite en pi/3 de la fonction f(x)= (cos x-1/2)/(x- pi/3) on utilise la formule f(x)-f(a)/x-a=f'(x) donc cos (x) -cos(pi/3) / x- pi/3 = cos ' (pi/3) = -sin (pi/3) = -sqrt(3)/2 3) on pose f(x) =xsin(1/x²) donner un encadrement de f(x) pour x>0 -1<sin(1/x²)<1 = -x < xsin (1/x²) < x donner un encadrement de f(x) pour x<0 -1<sin(1/x²)<1 = x < xsin (1/x²) < -x en déduire lim f(x) quand x tend vers 0 lim x=0; lim -x=0 Donc d'après le théorème des gendarmes lim f(x) =0 4) Soit f(x) =sqrt(x²+x+1) -justifier que f est définie sur R la je voit pas comment faire -Déterminer la limite de f en -oo et +oo -lim x²+x+1 =+oo (quand x tend vers +oo) lim sqrt(X) =+oo (quand x tend vers +oo) Donc par composée lim f(x)=+oo quand x tend vers +oo -lim x²+x+1=+oo(quand x tend vers -oo) lim sqrt(X)=+oo (quand x tend vers -oo) Donc par composée lim f(x)=+oo quand x tend vers -oo -justifier que f(x)-x= (x+1)/(sqrt(x²+x+1)+x) (sqrt(x²+x+1)-x)(sqrt(x²+x+1)+x)/ sqrt(x²+x+1)+x = x²+x+1-x² / sqrt(x²+x+1)+x = x+1/ sqrt(x²+x+1)+x -Factoriser par x, pour x>0 le numéraeu et le dénominateur de f(x)-x, en déduire que lim f(x)-x=1/2 quand x tend vers +oo, préciser alors l'asymptote oblique de la courbe représentative Cf de f en +oo pour x>0: on factorise le dénominateur: sqrt(x²+x+1)+x = sqrt(x²(1+1/x+1/x²)+x = x sqrt(1+1/x+1/x²) +x = x(sqrt(1+1/x+1/x²) +1) on a donc pour la fractions entirère : [x(1+1/x)]/[x(sqrt(1+1/x+1/x²) +1)] = (1+1/x)/((sqrt(1+1/x+1/x²) +1) lim(1+1/x)=1 (quand x tend vers +oo) lim ((sqrt(1+1/x+1/x²) +1) =2 (quand x tend vers +oo) Donc par quotient lim f(x) =1/2 pour l'asymptote je voit pas du tout 5) Soit la fonction définie sur D=]-oo,-2-2,+oo[ par f(x) = (-2x²-3x+4)/(x+2) -Déterminer les limites de f respectivement en +oo et en -oo lim f(x)= lim -2x²/x =lim -2x = -oo (quand x tend vers +oo) lim f(x)= lim -2x²/x=lim -2x = +oo (quand x tend vers -oo) -Déterminer les réels a,b et c tels que f(x)= ax+b +c/x+2 pour tt x appartenant a D ax+b+c/x+2 = ( ax(x+2) +b(x+2) + c ) / (x+2) = (ax²+2ax+bx+2b+c) / (x+2) = (-2x²+3x+4) /(x+2) Donc a=-2 2a+b=-3 donc b= 1 2b+c=4 donc c= 2 -En déduire que la représentation graphique de f admet en +oo et en -oo une asymptote oblique D que l'on rpécisera, donner ensuite les positions relatives de D et de la représentation graphique Cf de f lim f(x)-(-2x+1) =0 car lim 2/(x+2)=0 quand x tend vers + et -oo Donc l'équation D:y=-2x+1 est asymptote oblique a Cf en + et -oo - phi(x)=2/x+2 ax+b = -2x+1 f(x) = ax+b + phi(x) = -2x+1+2/x+2 phi(x)= (-2x+1+2/x+2)+ 2x+1 = 2+ 2/x+2 >0 Donc la courbe Cf est au dessus de D sur l'intervalle Voila se que j'ai fait je n'attend que vos réponse merci d'avance et bonne fin de soirée.
E-Bahut pzorba75 Posté(e) le 22 septembre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 septembre 2010 4 - x^2+x+1 n' a pas de racine réelle =1^1-4=-3<0, donc du signe de x^2 donc >0 donc sqrt(x^2+x+1) définie sur R. Le devoir semble correct.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 22 septembre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 septembre 2010 bonsoir je vient de terminer en partie mon second DM de l'année et j'aimerais savoir si je n'est pas fait de grosse fautes et si vous pouviez m'aider pour les questions où je suis bloqué. Merci d'avance . Le sujet le voici: 1) encadrer la fonction f(x)=(x+sin x)/(x²+3) et déterminer la limite en +oo -1<sin x < 1 = -1+x< x+sin x < 1+x = (-1+x)/(x²+3) < (x+sin x)/(x²+3) <(1+x)/(x²+3) lim quand x tend vers +oo (x-1)/(x²+3) =lim 1/x = 0 ------------------------------------(x+1)/(x²+3)=lim 1/x =0 Donc d'aprés le théorème des gendarmes lim f(x)=0 2)Déterminer la limite en pi/3 de la fonction f(x)= (cos x-1/2)/(x- pi/3) on utilise la formule ( f(x)-f(a))/(x-a)=f'(x) donc (cos (x) -cos(pi/3)) /( x- pi/3 )= cos ' (pi/3) = -sin (pi/3) = -sqrt(3)/2 ----------------------- J'aurais écrit : f(x)= (cos x-1/2)/(x- pi/3)=f(x)= (cos x-cos(pi/3))/(x- pi/3) ce qui correspond au taux d'acroissement de la fonction cos(x) en x=Pi/3 Limite de f(x) en pi/3=limite cos(x) en pi/3=-sin(pi/3)=-√3/2 quand x-> pi/3 ----------------------- 3) on pose f(x) =xsin(1/x²) donner un encadrement de f(x) pour x>0 -1<sin(1/x²)<1 = -x < xsin (1/x²) < x donner un encadrement de f(x) pour x<0 -1<sin(1/x²)<1 = x < xsin (1/x²) < -x en déduire lim f(x) quand x tend vers 0 lim x=0; lim -x=0 Donc d'après le théorème des gendarmes lim f(x) =0 4) Soit f(x) =sqrt(x²+x+1) -justifier que f est définie sur R la je voit pas comment faire -Déterminer la limite de f en -oo et +oo -lim x²+x+1 =+oo (quand x tend vers +oo) lim sqrt(X) =+oo (quand x tend vers +oo) Donc par composée lim f(x)=+oo quand x tend vers +oo -lim x²+x+1=+oo(quand x tend vers -oo) lim sqrt(X)=+oo (quand x tend vers -oo) Donc par composée lim f(x)=+oo quand x tend vers -oo -justifier que f(x)-x= (x+1)/(sqrt(x²+x+1)+x) (sqrt(x²+x+1)-x)(sqrt(x²+x+1)+x)/ sqrt(x²+x+1)+x = x²+x+1-x² / sqrt(x²+x+1)+x = x+1/ sqrt(x²+x+1)+x -Factoriser par x, pour x>0 le numéraeu et le dénominateur de f(x)-x, en déduire que lim f(x)-x=1/2 quand x tend vers +oo, préciser alors l'asymptote oblique de la courbe représentative Cf de f en +oo pour x>0: on factorise le dénominateur: sqrt(x²+x+1)+x = sqrt(x²(1+1/x+1/x²)+x = x sqrt(1+1/x+1/x²) +x = x(sqrt(1+1/x+1/x²) +1) on a donc pour la fractions entirère : [x(1+1/x)]/[x(sqrt(1+1/x+1/x²) +1)] = (1+1/x)/((sqrt(1+1/x+1/x²) +1) lim(1+1/x)=1 (quand x tend vers +oo) lim ((sqrt(1+1/x+1/x²) +1) =2 (quand x tend vers +oo) Donc par quotient lim f(x) =1/2 pour l'asymptote je voit pas du tout f(x)-x=√(x^2+x+1)-x = (√(x^2+x+1)+x)(√(x^2+x+1)-x)/(√(x^2+x+1)-x)=(x+1)/(√(x^2+x+1)+x) -> 1/2 lorsque x-> alors f(x) x+1/2 x et l'asymptote au graphe de f(x) est y=x 5) Soit la fonction définie sur D=]-oo,-2-2,+oo[ par f(x) = (-2x²-3x+4)/(x+2) -Déterminer les limites de f respectivement en +oo et en -oo lim f(x)= lim -2x²/x =lim -2x = -oo (quand x tend vers +oo) lim f(x)= lim -2x²/x=lim -2x = +oo (quand x tend vers -oo) -Déterminer les réels a,b et c tels que f(x)= ax+b +c/(x+2) pour tt x appartenant a D ax+b+c/(x+2 ) = ( ax(x+2) +b(x+2) + c ) / (x+2) = (ax²+2ax+bx+2b+c) / (x+2) = (-2x²+3x+4) /(x+2) Donc a=-2 2a+b=-3 donc b= 1 2b+c=4 donc c= 2 -En déduire que la représentation graphique de f admet en +oo et en -oo une asymptote oblique D que l'on rpécisera, donner ensuite les positions relatives de D et de la représentation graphique Cf de f lim f(x)-(-2x+1) =0 car lim 2/(x+2)=0 quand x tend vers + et -oo Donc l'équation D:y=-2x+1 est asymptote oblique a Cf en + et -oo - phi(x)=2/(x+2) ax+b = -2x+1 f(x) = ax+b + phi(x) = -2x+1+2/(x+2) phi(x)= (-2x+1+2/x+2)+ 2x+1 = 2+ 2/(x+2 )>0 Donc la courbe Cf est au dessus de D sur l'intervalle Attention !!! il manque de nombreuses parenthèses dans tes expression qui de ce fait sont incorrectes Voila se que j'ai fait je n'attend que vos réponse merci d'avance et bonne fin de soirée.
namoureuse Posté(e) le 22 septembre 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 22 septembre 2010 merci beaucoup pour votre aide. pour se qui est des parenthèses manquantes c'est dur de penser a toutes les mettres sur l'ordinateur sachant que sur feuille je les met que la ou c'est vraiment important mais j'éssaillerais de ne plus en oublier ^^ 4) Soit f(x) =sqrt(x²+x+1) -justifier que f est définie sur R la je voit pas comment faire -Déterminer la limite de f en -oo et +oo -lim x²+x+1 =+oo (quand x tend vers +oo) lim sqrt(X) =+oo (quand x tend vers +oo) Donc par composée lim f(x)=+oo quand x tend vers +oo -lim x²+x+1=+oo(quand x tend vers -oo) lim sqrt(X)=+oo (quand x tend vers -oo) Donc par composée lim f(x)=+oo quand x tend vers -oo -justifier que f(x)-x= (x+1)/(sqrt(x²+x+1)+x) (sqrt(x²+x+1)-x)(sqrt(x²+x+1)+x)/ sqrt(x²+x+1)+x = x²+x+1-x² / sqrt(x²+x+1)+x = x+1/ sqrt(x²+x+1)+x -Factoriser par x, pour x>0 le numéraeu et le dénominateur de f(x)-x, en déduire que lim f(x)-x=1/2 quand x tend vers +oo, préciser alors l'asymptote oblique de la courbe représentative Cf de f en +oo pour x>0: on factorise le dénominateur: sqrt(x²+x+1)+x = sqrt(x²(1+1/x+1/x²)+x = x sqrt(1+1/x+1/x²) +x = x(sqrt(1+1/x+1/x²) +1) on a donc pour la fractions entirère : [x(1+1/x)]/[x(sqrt(1+1/x+1/x²) +1)] = (1+1/x)/((sqrt(1+1/x+1/x²) +1) lim(1+1/x)=1 (quand x tend vers +oo) lim ((sqrt(1+1/x+1/x²) +1) =2 (quand x tend vers +oo) Donc par quotient lim f(x) =1/2 pour l'asymptote je voit pas du tout f(x)-x=√(x^2+x+1)-x = (√(x^2+x+1)+x)(√(x^2+x+1)-x)/(√(x^2+x+1)-x)=(x+1)/(√(x^2+x+1)+x) -> 1/2 lorsque x-> alors f(x) x+1/2 x et l'asymptote au graphe de f(x) est y=x pour l'asymptote y=x quand on la trace sur la calculette ce n'est pas bon car l'asymptote la courbe . Donc je comprend pas pourquoi l'asymptote est y=x
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 22 septembre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 septembre 2010 Lorsque x-> alors f(x)≈ x et y=x est assymtote au graphe de f(x) ce qui se démontre en écrivant que lorsque x-> alors x^ 2>> x+1 ==> f(x)≈ √(x^2)=x. Comme f(x)-x >0 le graphe de f(x) est situé au dessus de celui de y=x.
namoureuse Posté(e) le 22 septembre 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 22 septembre 2010 Lorsque x-> alors f(x)≈ x et y=x est assymtote au graphe de f(x) ce qui se démontre en écrivant que lorsque x-> alors x^ 2>> x+1 ==> f(x)≈ √(x^2)=x. Comme f(x)-x >0 le graphe de f(x) est situé au dessus de celui de y=x.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 22 septembre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 septembre 2010 Lorsque x-> alors f(x)≈ x et y=x est assymtote au graphe de f(x) ce qui se démontre en écrivant que lorsque x-> alors x^ 2>> x+1 ==> f(x)≈ √(x^2)=x. Comme f(x)-x >0 le graphe de f(x) est situé au dessus de celui de y=x.
namoureuse Posté(e) le 22 septembre 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 22 septembre 2010 Lorsque x-> alors f(x)≈ x et y=x est assymtote au graphe de f(x) ce qui se démontre en écrivant que lorsque x-> alors x^ 2>> x+1 ==> f(x)≈ √(x^2)=x. Comme f(x)-x >0 le graphe de f(x) est situé au dessus de celui de y=x.
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