[Terminale] Dm De Mathématiques Suites Et Récurrence

[Étienne9]

Bonjour à vous,

J'ai un dm de mathématiques à faire et je suis bloqué.

Voilà le sujet :

Partie 1 : http://yfrog.com/17picture32ubj

Partie 2 : http://yfrog.com/j0picture34jj

Pour le 3 j'ai écris :

3) Si P(n) vraie, alors 5^n+1 = 4k

5^n = 4k - 1

5^(n+1)+1 = 5(4k-1) +1

5^(n+1)+1 = 20k - 5 + 1

5^(n+1)+1 = 20k - 4

5^(n+1)+1 = 4(5k-1)

D'où P(n) => P(n+1) vraie

Et je n'arrive plus à rien aboutir.

Pour le 5 et 6 je n'arrive pas à répondre aux deux dernières questions (croissante et majorée par 3 ; bornée ; exprimer v(n) et u(n) en fonction de n ; et enfin calculer la somme.)

Merci à vous !

[pzorba75]

Pour le Devoir 1 no 2

u_n=(n3-n)/3=n(n^2-1)/3=(n-1)n(n+1)/3, 3 entiers consécutifs, donc forcément un multiple de 3 donc u_n est un entier.

Voilà pour le moment.

Nota:

Trop pénible de répondre à des sujets en pièce jointe de mauvaise qualité. Tu ferais bien d'apprendre à saisir tes sujets complètement et correctement. Tous ceux qui peuvent t'aider apprécieront cet effort.

A+

[Étienne9]

Bonjour,

Mauvaise qualité ?

Ces photos ont été prise par une webcam HD de 8 mégapixels !

Elle sont tellement grande et de bonne qualité qu'elles ont été réduite de taille, il suffit juste de cliquer dessus et vous verrez qu'elle deviendra beaucoup plus net et beaucoup plus grande.

Ce que vous avez dit pour u(n), c'est pour prouver qu'elle est majoré par 3 ?

Merci beaucoup !

[elp]

Bonjour à vous,

J'ai un dm de mathématiques à faire et je suis bloqué.

Voilà le sujet :

Partie 1 : http://yfrog.com/17picture32ubj

Partie 2 : http://yfrog.com/j0picture34jj

Pour le 3 j'ai écris :

3) Si P(n) vraie, alors 5^n+1 = 4k

5^n = 4k - 1

5^(n+1)+1 = 5(4k-1) +1

5^(n+1)+1 = 20k - 5 + 1

5^(n+1)+1 = 20k - 4

5^(n+1)+1 = 4(5k-1)

D'où P(n) => P(n+1) vraie

Et je n'arrive plus à rien aboutir.

Si tu as vu les congruences: 5 congru à 1 modulo (4) dc 5^ncongru à 1^n modulo 4 dc 5^n=4k+1

Sinon on fait une récurrence

5=4+1

25=24+1=6*4+1

supposons que 5^n=4k+1

on a alors

5^(n+1)=5*(4k+1)=20k+5=20k+4+1=4(5k+1)+1 dc de la forme 4*h+1

Pour le 5 et 6 je n'arrive pas à répondre aux deux dernières questions (croissante et majorée par 3 ; bornée ; exprimer v(n) et u(n) en fonction de n ; et enfin calculer la somme.)

Merci à vous !

[Étienne9]

Bonjour,

Ce que vous avez écrit permet de démontrer que pour tout n de N, 5^n = 4k + 1 c'est ça ?

[elp]

Bonjour,

Ce que vous avez écrit permet de démontrer que pour tout n de N, 5^n = 4k + 1 c'est ça ?

[Étienne9]

Ensuite pour ce qui est de "elle est fausse", j'ai juste à marquer qu'elle est fausse non ?

[elp]

Ensuite pour ce qui est de "elle est fausse", j'ai juste à marquer qu'elle est fausse non ?

[Étienne9]

Exercice 3 terminé alors ?

Pour ce qui est du 5, j'ai fait :

J'ai calculé u1 = V7

J'ai calculé u2 = V(6+V(7))

J'ai dit : "On suppose que u(n) est bien définie pour tout n de N.

u(n) définie pour tout n de N implique 6 + u(n-1) supérieur ou égale à 0

6 est positif,, u(n-1) au départ est égal à 1.

On ajoute deux nombres positifs on obtient un nombre positif et ainsi de suite donc u(n) positif pour tout n de N.

Et là, je n'ai plus rien sur le 5.

Pour le 6 j'ai fait :

V(n+1) = U(n+1) - a

J'ai fait des calculs et je suis arrivé à V(n+1) = 2 V(n) - 3 + a

D'où V(n) géométrique seulement si a = 3.

Après j'ai fait v(0) = u(0) - a = -8 -3 = -11

À partir de là, j'ai dit que V(n+1) = U(n+1) - a était une suite arithmétique de raison -3 et donc :

v(n) = v(p) + (n-p)r

v(n) = v(0) - 3n

D'où v(n) = -11 - 3n

Je ne sais pas si c'est correct donc je n'ai pas été plus loin.

Merci beaucoup vraiment pour votre aide, vous me sauvez la vie !

[elp]

Exercice 3 terminé alors ?

Pour ce qui est du 5, j'ai fait :

J'ai calculé u1 = V7

J'ai calculé u2 = V(6+V(7))

J'ai dit : "On suppose que u(n) est bien définie pour tout n de N.

u(n) définie pour tout n de N implique 6 + u(n-1) supérieur ou égale à 0

6 est positif,, u(n-1) au départ est égal à 1.

On ajoute deux nombres positifs on obtient un nombre positif et ainsi de suite donc u(n) positif pour tout n de N.

Et là, je n'ai plus rien sur le 5.

Des pistes pour t'aider (il faudra que tu rédiges correctement )

u(0)>0

supposons u(n)>0

on a alors u(n)+6>0 dc rac(u(n)+6) existe et est >0

-----------------------------------

u(n)-u(n-1)=rac(u(n-1)+6)-u(n-1)=[rac(u(n-1)+6)-u(n-1)]*[rac(u(n-1)+6)+u(n-1])/[rac(u(n-1)+6)+u(n-1)]=[u(n-1)+6+u²(n-1])/[rac(u(n-1)+6)+u(n-1)]

au num tout est positif et au déno aussi dc u(n)>u(n-1)

---------------------------------------------

supposons u(n)<3

on a alors

u(n)+6<6+3

u(n)+6<9

rac(u(n)+6)<rac(9)

u(n+1)<3

Pour le 6 j'ai fait :

V(n+1) = U(n+1) - a

J'ai fait des calculs et je suis arrivé à V(n+1) = 2 V(n) - 3 + a

D'où V(n) géométrique seulement si a = 3.

Après j'ai fait v(0) = u(0) - a = -8 -3 = -11

À partir de là, j'ai dit que V(n+1) = U(n+1) - a était une suite arithmétique de raison -3 et donc :

v(n) = v(p) + (n-p)r

v(n) = v(0) - 3n

D'où v(n) = -11 - 3n

Je ne sais pas si c'est correct donc je n'ai pas été plus loin.

Merci beaucoup vraiment pour votre aide, vous me sauvez la vie !

[Étienne9]

Merci beaucoup à vous !

[elp]

Pour le 6 j'ai fait :

V(n+1) = U(n+1) - a

J'ai fait des calculs et je suis arrivé à V(n+1) = 2 V(n) - 3 + a

D'où V(n) géométrique seulement si a = 3.

OK jusqu'ici

Après j'ai fait v(0) = u(0) - a = -8 -3 = -11

Ds ton énoncé j'ai pris u(0)=8 (à mon avis il manque une barre au signe égal et on croit que c'est un signe - )

Ds tous les cas:

v(n)=2*v(n-1) car a=3 dc on est ds le cas ou v est géométrique de raison 2

on a dc v(n)=2^n*v(0) (v(0)=u(0)-3= 8-3 ou -8-3 suivant ce que tu lis ds l'énoncé)

v(n)=u(n)-3 dc u(n)=v(n)+3 =2^n*v(0)+3

S=u(0)+u(1)+....u(n-1)

S=2^0*v(0)+3 + 2^1*v(0)+3 +2^2*v(0)+3 +..............2^(n-1)*v(0)+3

S=v(0)[2^0+2^1+2^2+......2^(n-1)]+3+3+....3

il y a n fois le terme 3 et ds les [ ] c'est la somme des termes d'une suite gémétrique de raison 2

S=v(0)*[(2^n-1)/(2-1)]+3n=v(0)[2^n-1]+3n

avec v(0)=5 ou -11

À partir de là, j'ai dit que V(n+1) = U(n+1) - a était une suite arithmétique de raison -3 et donc :

v(n) = v(p) + (n-p)r

v(n) = v(0) - 3n

D'où v(n) = -11 - 3n

[Étienne9]

Bonjour à vous et merci beaucoup de m'avoir dépanné.

v(0) c'est 5 en vérité car si on regarde bien le polycopié on constate qu'une barre est très très mal imprimé au dessus ce qui fait pensé à un égal.

Je n'ai pas compris comment vous avez fait la somme de la suite géométrique de raison 2.

Il ne me reste que seulement la suite u(n) bornée à l'exercice 5 et j'ai tout fini...

[elp]

Bonjour à vous et merci beaucoup de m'avoir dépanné.

v(0) c'est 5 en vérité car si on regarde bien le polycopié on constate qu'une barre est très très mal imprimé au dessus ce qui fait pensé à un égal.

Je n'ai pas compris comment vous avez fait la somme de la suite géométrique de raison 2.

Il y a une formule du cours qui donne la somme des termes d'une suite géo.

par exemple:(1+b+b²+b^3+......b^n=(1-b^(n+1))/(1-b)

Il ne me reste que seulement la suite u(n) bornée à l'exercice 5 et j'ai tout fini...

u(0)=1 u(n) est croissante dc u(n)>1 et de plus on a u(n)<3 donc ta suite est bornée: tousses termes st compris entre 1 et 3

[Étienne9]

Bonjour, merci mais j'ai un soucis.

En vérifiant avec 5, je trouve que la somme est égal à 95, or quand je calcule tout les u 1 par 1 je trouve rien que u4 je trouve 83, il doit y avoir un problème non ?

[elp]

Bonjour, merci mais j'ai un soucis.

En vérifiant avec 5, je trouve que la somme est égal à 95, or quand je calcule tout les u 1 par 1 je trouve rien que u4 je trouve 83, il doit y avoir un problème non ?

[Étienne9]

Haa, le 1 du nominateur n'est pas en indice ?

Mais la somme est simplifiable non ? ça équivaut à

S = 5 * (2^n - 1) + 3n non ?

[Étienne9]

Ne devrais pas marquer n+1 plutôt en indice et ne devrais-je pas écrire Sn au lieu de S ?

[elp]

Ne devrais pas marquer n+1 plutôt en indice et ne devrais-je pas écrire Sn au lieu de S ?