Exo Dm Porduit Scalaire

[Maxou62]

Bonjour

J'ai reussi tout mon DM sauf cet exo qui me pose problème =/

I Propriété :

C un cercle de rayon R et de centre O. I est un point quelconque du plan. Une droite d passant par I coupe le cercle C en 2 points A et B.

Il s'agit de démontrer que le produit scalaire IA.IB est indépendant de la droite d.

On considère le point A' et C diamétralement opposé à A.

Démontrer que (le produit scalaire) IA.IB = IO² -R²

Cet invariant remarquable est appelé la puissance du point I par rapport au cercle C.

II Application :

D'un point W intérieur à un cercle C de rayon R, on mène 2 droites perpendiculaire qui rencontrent le cercle C en A et A' d'une part et en B et B' d'autre part. On note I le milieu du segment [A'B'].

Il s'agit de montrer que la médiane issue de W dans le triangle W A'B' est hauteur du triangle W AB.

1) Démontrer que les produits scalaires WA.WA' et WB.WB' sont égaux.

2) Démontrer que W A'+ WB' = 2 W I

3) Calculer le produit scalaire de AB. WI et conclure

Voila ce que ça donne Merci de votre aide

Max

[Maxou62]

Euh tout les W sont des "ohm" mais c'est pas rave je m'occuperais de convertir ^^

[Barbidoux]

1 Propriété----------------------

Relations vectorielles

IA.IB=IA.(IA’+A’B) or IA e A’B sont perpendiculaires ==> IA.IB=IA.IA’==> IA.IB=(IO+OA).(IO+OA’)=IO.IO+IO.OA’+OA.IO+OA.OA’=IO.IO+IO(OA’+OA)+OA.OA’=IO^2-R^2

Suite à venir demain....

[pzorba75]

II

a - vec(WA')=vec(WI)+vec(IA')

vec(WB')=vec(WI)+vec(IB')

I milieu de A'B' soit vec(IA')=-vec(IB')

vec(WA')+vec(WB')=2*vec(WI)+vec(IA')+vec(IB')=2*vec(WI) soit vec(WA')+vec(WB')=2*vec(WI)

b - d'après IIa vec(WI)=(vec(WA')+vec(WB'))/2

vec(WI)*vec(AB)=1/2[(vec(AW)+vec(WB))(vec(WA')+vec(WB'))]

=1/2[vec(AW)*vec(WA')+vec(AW)*vec(WB')+vec(WB)*vec(WA')+vec(WB)*vec(WB')]

vec(AW)*vec(WB')= 0 et vec(WB)*vec(WA')=0 ces vecteurs sont sur des droites perpendiculaires

vec(WI)*vec(AB)=1/2[-vec(WA)*vec(WA')+vec(WB)*vec(WB')+0+0]

=1/2[0] car vec(WA)*vec(WA')=vec(WB)*vec(WB') puissance de W par rapport au cercle

vec(WI)*vec(AB)=0 donc la droite AB est perpendicualire à WI.

A rédiger soigneusement pour vérifier la solution.

[Maxou62]

Merc de votre aide