Dm Suites

[edde]

Salut à tous , je bloque sur cet exercice merci de votre aide

On rappelle que si n est un entier naturel non nul : n! = n*(n-1)*…*2*1 et 0! = 1

On considère (Un) et (Vn) deux suites définies pour tout entier naturel n non nul par :

Un = sigma 1/(k!) avec sigma n au dessus et k=0 en dessous

Et Vn = Un + 1/(n!)

1) calculer u1 , u2 et u3 ainsi que v1 , v2 et v3

2)a) étudier précisément les variations de (Un) et (Vn) .

b) prouver que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.

c) que peut en déduire quant à leurs convergences ?

3) calculer les valeurs exactes puis approchées à 10^-4 près de u7 et v7 .

En déduire une valeur approchée à 10^-3 près de la limite commune notée e de (Un) et (Vn) , en justifiant.

4) on veut prouver que cette limite commune e n’est pas rationnelle à l’aide d’un raisonnement par l’absurde.

On suppose que e = p/q avec p et q entiers naturels non nuls (on peut les supposer positifs car e strictement supérieur à 0 ).

Justifier que Uq inférieur à e inférieur à Vq

Démontrer alors que q!Uq inférieur à p(q-1)! Inférieur à q!Uq+1

Étudier la nature des trois membres intervenant dans l’encadrement précédent.

En déduire une contradiction puis conclure.

Merci de votre aide

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

Tu pourrais nous proposer quelque chose quand même!! Calculer u1 u2 etc... C'est pas compliqué...

2)

a)Les variations. Calcule moi U_{n+1}-Un et V_{n+1} - Vn.

b) Adjacentes.

Critère :

(Un) croissante (D'après a))

(Vn) décroissante (D'après a))

Un Vn (Calcule Vn-Un)

lim_{n-->+inf} Vn-Un = 0 (Calcule la limite de Vn-Un)

c)

D'après le Th. de suite adjacentes, Un et Vn convergent vers la même valeur.

3) En calculant u_{8}-u{7} et u_{9}-u{8}. Tu constates que la variation se fait sur 5 et 6ème chiffre significatif.

4) Il faut que j'y reflechisse un peu.

[elp]

4)

On sait que u(n)<e<v(n) pour tout n (d'après le début du pb)

u(q)<e<v(q)

u(q)*q!<e*q!<v(q)*q!

u(q)*q!<(p/q)*q!<v(q)*q!

u(q)*q!<p*(q-1)!<[u(q)+1/q!]*q!

u(q)*q!<p*(q-1)!<u(q)*q!+1

u(q)=somme pour k de 0 à q de 1/k!

u(q)*q!=somme pour k de 0 à q de q!*(1/k!)=dc somme des( q!)/(k!)

chacun des termes de la somme est un entier car q>=k

la somme est donc un entier que j'appelle n

p*(q-1)! est aussi un entier

on a donc: n< un entier<n+1

mais il n'y a pas d' entier entre 2 entiers consécutifs donc il y a contradiction et il n'existe pas 2 entiers p/q tel que e=p/q

[edde]

Bonsoir,

Tu pourrais nous proposer quelque chose quand même!! Calculer u1 u2 etc... C'est pas compliqué...

2)

a)Les variations. Calcule moi U_{n+1}-Un et V_{n+1} - Vn.

b) Adjacentes.

Critère :

(Un) croissante (D'après a))

(Vn) décroissante (D'après a))

Un Vn (Calcule Vn-Un)

lim_{n-->+inf} Vn-Un = 0 (Calcule la limite de Vn-Un)

c)

D'après le Th. de suite adjacentes, Un et Vn convergent vers la même valeur.

3) En calculant u_{8}-u{7} et u_{9}-u{8}. Tu constates que la variation se fait sur 5 et 6ème chiffre significatif.

4) Il faut que j'y reflechisse un peu.

[Barbidoux]

pour la 1)

u1= 2

u2=5/2

u3=16/6=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!=8/3

v1=3

v2=3

v3=17/6

?

pour la2) a) le sigma me pose problème sinon je vois bien la méthode à adopter

[edde]

merci pour ton aide surtout pour la question 4)

[louxo]

pour la 1)

u1= 2

u2=5/2

u3=16/6=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!=8/3

v1=3

v2=3

v3=17/6

?

pour la2) a) le sigma me pose problème sinon je vois bien la méthode à adopter

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

D'après le sujet, Vn = Un + 1/(n!).

Donc, Vn - Un = 1/n!. Il n'y a aucune difficulté. Tu as du mal recopier quelque chose.

Voilou.

Cordialement.

BS

[louxo]

merci bcp pour votre aide